专题五 第4讲 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题(大题)（课件+作业）-2020高考文科数学【步步高】大二轮专题复习与增分策略(通用版)

第4讲　圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题(大题) 热点一　定点问题 解决圆锥曲线中的定点问题应注意 (1)分清问题中哪些是定的，哪些是变动的； (2)注意“设而不求”思想的应用，引入参变量，最后看能否把变量消去； (3)“先猜后证”，也就是先利用特殊情况确定定点，然后验证，这样在整理式子时就有了明确的方向． 例1　(2019·济南模拟)已知抛物线C1：y2＝2px(p>0)与椭圆C2：＋＝1有一个相同的焦点，过点A(2,0)且与x轴不垂直的直线l与抛物线C1交于P，Q两点，P关于x轴的对称点为M. (1)求抛物线C1的方程； (2)试问直线MQ是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 解　(1)由题意可知抛物线的焦点为椭圆的右焦点，坐标为(1,0)， 所以p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x. (2)方法一　因为点P与点M关于x轴对称， 所以设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x1，－y1)， 设直线PQ的方程为y＝k(x－2)， 代入y2＝4x，得k2x2－4(k2＋1)x＋4k2＝0， 所以x1x2＝4， 设直线MQ的方程为y＝mx＋n， 代入y2＝4x，得m2x2＋(2mn－4)x＋n2＝0， 所以x1x2＝＝4， 因为x1>0，x2>0，所以＝2，即n＝2m， 所以直线MQ的方程为y＝m(x＋2)，必过定点(－2,0)． 方法二　设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x3，y3)， 因为点P与点M关于x轴对称，所以y3＝－y1， 设直线PQ的方程为x＝ty＋2， 代入y2＝4x得y2－4ty－8＝0，所以y1y2＝－8， 设直线MQ的方程为x＝my＋n， 代入y2＝4x得y2－4my－4n＝0，所以y2y3＝－4n， 因为y3＝－y1，所以y2y3＝－y1y2＝－4n＝8，即n＝－2， 所以直线MQ的方程为x＝my－2，必过定点(－2,0)． 跟踪演练1　(2019·攀枝花模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点P(4，t)(t>0)到焦点F的距离等于5. (1)求抛物线C的方程和实数t的值； (2)若过F的直线交抛物线C于不同的两点A，B(均与P不重合)，直线PA，PB分别交抛物线的准线l于点M，N.试判断以MN为直径的圆是否过点F，并说明理由． 解　(1)由抛物线定义可知|PF|＝4－＝5， 解得p＝2，故抛物线C的方程为y2＝4x， 将P(4，t)(t>0)代入抛物线方程解得t＝4. (2)以MN为直径的圆一定过点F，理由如下： 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 设直线AB的方程为x＝my＋1(m∈R)，代入抛物线C：y2＝4x， 化简整理得y2－4my－4＝0， 则 由(1)知P(4,4)， 所以直线PA的方程为 y－4＝(x－4)＝(x－4)， 令x＝－1得y＝， 即M， 同理可得N， ∴kMF·kNF＝· ＝ ＝ ＝＝－1， ∴MF⊥NF， 故以MN为直径的圆过点F. (也可用·＝0)． 热点二　定值问题 求定值问题常见的方法有两种 (1)从特殊情况入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关； (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 例2　(2019·宜宾诊断)已知点M(x，y)与F(4,0)的距离和它到直线l：x＝的距离的比是常数. (1)求点M的轨迹C的方程； (2)设N是圆E：x2＋y2＝9上位于第四象限的一点，过N作圆E的切线l0，与曲线C交于A，B两点．求证：△FAB的周长为10. (1)解　由题意得＝， ∴＋＝1为轨迹C的方程． (2)证明　方法一　设A(x1，y1)到l的距离为 d＝－x1， 则＝， 有|AF|＝d＝5－x1， ∵＋＝1， ∴y＝9， ∴|AN|＝ ＝＝＝x1， ∴|FA|＋|AN|＝5－x1＋x1＝5， 同理|FB|＋|BN|＝5， ∴|FA|＋|FB|＋|AB|＝10， ∴△FAB的周长为定值10. 方法二　设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 设直线n：y＝kx＋m与圆x2＋y2＝9相切， 由题意知k>0，m<0， ∴＝3， 即m2＝9(k2＋1)， 把y＝kx＋m代入＋＝1，得 (25k2＋9)x2＋50kmx＋25m2－225＝0， 显然Δ>0，x1＋x2＝－， x1x2＝， ∴|AB|＝|x1－x2| ＝ ＝， |FA|＋|FB|＝5－x1＋5－x2 ＝10－(x1＋x2)＝10＋· ＝10－， ∴|FA|＋|FB|＋|AB|＝10， ∴△FAB的周长为定值10. 跟踪演练2　(2019·揭阳模拟)已知点P在椭圆C：＋＝1(a>b>0)上，椭圆C的焦距为2. (1)求椭圆C的方程； (2)斜率为定值k的直线l与椭圆C交于A，B两点，且满足|OA|2＋|OB|2的值为常数(其中O为坐标原点)．