专题五 规范答题示例5 圆锥曲线（课件+作业）-2020高考文科数学【步步高】大二轮专题复习与增分策略(通用版)

典例5　(12分)(2018·全国Ⅰ)设椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为(2,0)． (1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；　(2)设O为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMB. 审题路线图 1l与x轴垂直→l的方程为x＝1→将l的方程与椭圆C的方程联立→解得A点坐标→得到直线AM的方程[来源:Z*xx*k.Com] 2先考虑l与x轴垂直或l与x轴重合的特殊情况→要证的结论→再考虑l与x轴不垂直也不重合的一般情况→设l的方程并与椭圆方程联立→得x1＋x2，x1x2→用过两点的斜率公式写出kMA，kMB→计算kMA＋kMB→得kMA＋kMB＝0→∠OMA＝∠OMB 规 范 解 答·分 步 得 分 构 建 答 题 模 板 (1)解　由已知得F(1,0)，…………………………………………1分 由x＝1及＋y2＝1得A点坐标为或，…2分 又M(2,0)，∴AM的方程为y＝－x＋或y＝x－.…3分 (2)证明　①当l与x轴重合时，∠OMA＝∠OMB＝0°. ………4分 ②当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线， ∴∠OMA＝∠OMB. ……………………………………………5分 ③当l与x轴不重合也不垂直时， 设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，………………………………6分 设A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<，x2<)， 则kAM＝，kBM＝，…………………………………7分 ∴kAM＋kBM＝＝， ……………………………………………………………………8分 将y＝k(x－1)与＋y2＝1联立，得(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0， 易知Δ>0恒成立， ∴x1＋x2＝，x1x2＝，……………………………9分 则2kx1x2－3k(x1＋x2)＋4k＝＝0， …………………………………………………………………10分 从而kAM＋kBM＝0，故MA与MB的倾斜角互补，[来源:学.科.网Z.X.X.K] ∴∠OMA＝∠OMB， 综上∠OMA＝∠OMB. ………………………………………12分 第一步 求直线方程：确定直线上两点的坐标，从而求得直线的方程． 第二步 求解特殊情况：注意斜率为0与斜率不存在的情况，分别求解． 第三步 求解一般情况：斜率存在且不为0 (1)联立消元：将直线方程和圆锥曲线方程联立得到方程：Ax2＋Bx＋C＝0，然后研究判别式，利用根与系数的关系得等式； (2)找关系：从题设中寻求变量的等量或不等关系，得结论. 评分细则　第(1)问：写出F的坐标得1分，联立方程得出A点坐标得1分，写出直线AM的两个方程得1分． 第(2)问：写出直线l与x轴重合时的情况得1分，写出l与x轴垂直时的情况得1分，写出既不垂直又不重合的情况得1分，以上情况漏写一种扣1分；写出kMA，kMB的表达式得1分，写出kAM＋kBM关于x1，x2的表达式得1分，联立直线与椭圆方程得出x1＋x2，x1x2分别关于k的表达式得1分，将x1＋x2，x1x2代入kAM＋kBM，求得kAM＋kBM＝0得1分，得出总结论得2分． 跟踪演练5　(2019·全国Ⅰ)已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|＝4，⊙M过点A，B且与直线x＋2＝0相切． (1)若A在直线x＋y＝0上，求⊙M的半径； (2)是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|－|MP|为定值？并说明理由． 解　(1)因为⊙M过点A，B，所以圆心M在AB的垂直平分线上． 由已知A在直线x＋y＝0上，且A，B关于坐标原点O对称， 所以M在直线y＝x上，故可设M(a，a)． 因为⊙M与直线x＋2＝0相切，所以⊙M的半径为r＝|a＋2|. 由已知得|AO|＝2. 又MO⊥AO，故可得2a2＋4＝(a＋2)2， 解得a＝0或a＝4. 故⊙M的半径r＝2或r＝6.[来源:学.科.网] (2)存在定点P(1,0)，使得|MA|－|MP|为定值．[来源:学*科*网] 理由如下： 设M(x，y)，由已知得⊙M的半径为r＝|x＋2|，|AO|＝2. 由于MO⊥AO，故可得x2＋y2＋4＝(x＋2)2，[来源:学,科,网Z,X,X,K] 化简得M的轨迹方程为y2＝4x. 因为曲线C：y2＝4x是以点P(1,0)为焦点，以直线x＝－1为准线的抛物线， 所以|MP|＝x＋1. 因为|MA|－|MP|＝r－|MP|＝x＋2－(x＋1)＝1，所以存在满足条件的定点P. $$ 圆锥曲线 板块二　专题五　规范答题示例5 审题路线图 (1)l与x轴垂直→l的方程为x＝1→将l的方程与椭圆C的方程联立→解得A点坐标→得到直线AM的方程 (2)先考虑l与x轴垂直或l与x轴重合的特殊情况→要证的结论→再考虑l与x轴不垂直也不重合的一般情况→设l的方程并与椭圆方程联立→得x1＋