专题03 双曲线-2020年高考数学(文)解析几何分类突破辅导【学科网名师堂】

《小题分类突破》的考点七：解析几何（文） 专题03 双曲线 一、分类透析 分类透析一 双曲线的定义与应用 例1过双曲线＝1左焦点F1的直线与左支交于A、B两点，且弦AB长为6，则△ABF2(F2为右焦点)的周长是（ ）－ A. 28 B. 19 C. 22 D. 16 解析　由双曲线的定义知AF2－AF1＝8，BF2－BF1＝8， 两式相加得 AF2＋BF2－(AF1＋BF1)＝AF2＋BF2－AB＝16， 从而有AF2＋BF2＝16＋6＝22， 所以△ABF2的周长为AF2＋BF2＋AB＝22＋6＝28. 答案 A 【方法技巧】 与焦点有关的三角形周长问题，常借助双曲线的定义解决，注意解决问题时的拼凑技巧． 例2 一动圆C与两定圆C1：x2＋(y－5)2＝1和圆C2：x2＋(y＋5)2＝16都外切，则动圆圆心C的轨迹方程为 ． 解析 设动圆圆心为C(x，y)，半径为r， 因为动圆C与两定圆相切， 所以即CC2－CC1＝3<C1C2＝10， 所以点C的轨迹是以C1(0,5)，C2(0，－5)为焦点的双曲线的上支，且a＝，c＝5， 所以b2＝. 故动圆圆心C的轨迹方程为)．＝1(y≥－ 答案 )．＝1(y≥－ 【方法技巧】依据动圆与两定圆外切建立关系式，易得到CC2－CC1＝3<C1C2，从而判断出C的轨迹是双曲线的一支，最后求出a，b即可写出轨迹方程，这里一定要注意所求的轨迹是双曲线的一支还是两支． 分类透析二 双曲线的标准方程求解与应用 例3 已知P是双曲线，且，若△PF1F2的面积为9，则a＋b的值为(　　)＝1(a＞0，b＞0)上的点，F1，F2是其焦点，双曲线的离心率是－ A．5 B．6 C．7 D．8 解析 设c＝c，，即a＝＝，则 ∴b＝c，＝ ∵ (即PF1⊥PF2)， S△PF1F2＝9，∴|PF1|·|PF2|＝18. ∵∴ 两式相减得，2|PF1|·|PF2|＝4b2， ∴b2＝9，∴b＝3，∴c＝5，a＝4， ∴a＋b＝7. 答案 C 例4 设A，B分别为双曲线.则双曲线的标准方程为________．，焦点到渐近线的距离为＝1(a>0，b>0)的左，右顶点，双曲线的实轴长为4－ 解析 由题意知a＝2 x. ，∴一条渐近线为y＝ 即bx－2. ＝y＝0.∴ ∴b2＝3，∴双曲线的方程为＝1. － 答案 ＝1 － 【方法技巧】关于双曲线的标准方程的确定问题，常用的方法有：待定系数法和几何法等，对于待定系数法，需要建立关于的等式，然后，确定其焦点位置，从而写出其标准方程。 分类透析三 双曲线的几何性质及应用 例5如图所示，F1，F2是双曲线＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，以坐标原点O为圆心，|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点分别为A，B，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为(　　)－ A. D.＋1 C.＋1 B. 解析 连接AF1，依题意得AF1⊥AF2， ∠AF2F1＝30°，|AF1|＝c，|AF2|＝c，因此 该双曲线的离心率e＝＋1，选B.＝＝ 答案 B　 【方法技巧】求解双曲线的离心率问题，是高频考点，建立关于 的等量关系式，是解决此类问题的关键。 例6 已知双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且PF1＝4PF2，则该双曲线离心率的取值范围为 ．－ 解析 因为PF1＝4PF2，点P在双曲线的右支上，所以可以设PF2＝m，则PF1＝4m， 由双曲线的定义，则PF1－PF2＝4m－m＝2a，所以m＝a. 又PF1＋PF2≥F1F2，即4m＋m≥2c，所以m≥.≤c，所以e＝a≥c，即 又e>1，所以双曲线离心率的取值范围为1<e≤. 答案 【方法技巧】本题利用双曲线的定义及三角形的两边之和与第三边之间的关系建立了关于双曲线基本量a，c的不等关系，使问题得以巧妙地转化、获解． 二、刷高考改编题 1.高考原题（2018年·浙江卷第2题）双曲线 的焦点坐标是（ ） A．(− ，0)，( ，0) B．(−2，0)，(2，0) C．(0，− )，(0， ) D．(0，−2)，(0，2) 改编如下： 双曲线 的一个焦点坐标是（ ），则 的值为 ． 解析 据题，得 ，又因为其焦点在 轴上，故 ，故 ，解得 ， 答案 点评 高考原题考查双曲线的简单几何性质，而改编后，则考查双曲线的焦点位置判断和几何性质，准确把握双曲线的焦点位置判断是解题的关键。 2.高考原题（2018年·江苏卷第8题）在平面直角坐标系 中，若双曲线 的右焦点 到一条渐近线的距离为 ，则其离心率的值是