专题04 抛物线-2020年高考数学(文)解析几何分类突破辅导【学科网名师堂】

《小题分类突破》的考点七：解析几何（文） 专题04 抛物线 一、分类透析 分类透析一 抛物线的定义与应用 例1 抛物线x2＝y的焦点F到其准线l的距离是(　　) A．2　　 　 B．1 C. D. 解析 因为2p＝.，所以由抛物线的定义可知所求的距离为，p＝ 答案 D　 【方法技巧】 首先，确定其抛物线的类型，然后，再根据焦参数 的几何意义，得到焦点到准线的距离就是参数 的值。 例2在平面直角坐标系xOy中，设点F，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，RQ⊥FP，PQ⊥l.，则动点Q的轨迹方程为________． ，直线l：x＝－ 解析 依题意知，点R是线段FP的中点，且RQ⊥FP， ∴RQ是线段FP的垂直平分线． ∵|PQ|是点Q到直线l的距离．又因为点Q在线段FP的 垂直平分线上， ∴|PQ|＝|QF|. 结合抛物线的定义，可知 动点Q的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，其方程为y2＝2x(x＞0)． 答案 y2＝2x(x＞0) 【方法技巧】结合图形，借助于垂直平分线的性质，进行适当的转化，从而得到该动点满足抛物线轨迹条件，从而确定其轨迹方程，其次，需要注意限定条件的应用。 分类透析二 抛物线的标准方程与确定 例3已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为(　　) A．y2＝4x B．y2＝-4x C．x2＝4y D．x2＝-4y 解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题知抛物线的焦点坐标为F()＝2py＋p2，，将其代入抛物线方程得y2＝2px＝2p(y＋，即x＝y＋，0)，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－ 所以y2－2py－p2＝0，所以＝p＝2， 所以抛物线的方程为y2＝4x，故选A. 答案 A 【方法技巧】确定抛物线的标准方程时，可以借助于抛物线的几何性质，也可以利用直线与抛物线的位置关系进行求解。 例4 已知过点A(－4,0)的动直线l与抛物线G：x2＝2py(p＞0)相交于B，C两点．当直线l的斜率是 时，＝4 ，则抛物线G的方程为 ． 解析 设B(x1，y1)，C(x2，y2)，当直线l的斜率为(x＋4)，即x＝2y－4.时，l的方程为y＝ 由得2y2－(8＋p)y＋8＝0，∴ 又∵ ＝4 ，∴y2＝4y1，③ 由①②③及p＞0得：y1＝1，y2＝4，p＝2， 则抛物线G的方程为x2＝4y. 答案x2＝4y 【方法技巧】确定抛物线的标准方程时，其解题的关键是确定焦参数 的值，建立关于该参数的方程（或方程组）是解决此类问题的关键。 分类透析三 抛物线的几何性质与应用 例5 如图所示，AB是抛物线y2＝2px(p>0)过焦点F的一条弦．设A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，过A、M、B分别向抛物线的准线l作垂线，垂足分别为A1、M1、B1，则的值为（ ）＋ A. B. C. D. 解析 当直线AB的斜率不存在，即与x轴垂直时，FA＝FB＝p，∴.＝＋＝＋ 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为： y＝k，并代入y2＝2px， ∴＝0.2＝2px，即k2x2－p(2＋k2)x＋ 设A(xA，yA)、B(xB，yB)，则xA＋xB＝.，xAxB＝ ∵FA＝xA＋，∴FA＋FB＝xA＋xB＋p，FA·FB＝，FB＝xB＋ ＝xAxB＋(xA＋xB＋p)．＝(xA＋xB)＋ ∴FA＋FB＝FA·FB·，选C 。＝＋，即 答案 C 【方法技巧】该题给出了抛物线过焦点的弦所具有的一个重要性质，解题时，不可忽视AB⊥x轴的情况． 例6设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若|＝________.|＋||＋|＝0，则|＋＋ 解析　设A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)， 又F(1,0),由＝0知(x1－1)＋(x2－1)＋(x3－1)＝0，＋＋ 即x1＋x2＋x3＝3， |p＝6.|＝x1＋x2＋x3＋|＋||＋| 答案　6 【方法技巧】对于抛物线和平面向量相结合题目，可以借助于平面向量的坐标运算求解，需要注意平面向量的有关运算性质的运用。 二、刷高考改编题 1.高考原题（2017年·全国卷II文科第12题）过抛物线 的焦点 ，且斜率为 的直线交 于点 （ 在 轴上方）， 为 的准线，点 在 上且 ,则 到直线 的距离为 （ ） A. B. C. D. 改编如下： 已知抛物线的焦点为，准线为为抛物线上一点， 为垂足，若直线的斜率，则线段的长为 （ ） A. B.