第05章 重点突破训练：平行线的性质与判定综合应用-简单数学之2019-2020学年七年级下册同步讲练（人教版）

第05章 重点突破训练：平行线的性质与判定综合应用 类型一：添加辅助线解决问题 典例：（2018·全国初一月考）已知：如图，直线，点C是PQ，MN之间（不在直线PQ，MN上）的一个动点. （1）若∠1与∠2都是锐角，如图1，请直接写出∠C与∠1∠2之间的数量关系. （2）若小明把一块三角板（∠A=30°，∠C=90°）如图2放置，点D，E，F是三角板的边与平行线的交点，若∠AEN=∠A，求∠BDF的度数. （3）将图2中的三角板进行适当转动，如图3，直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段CD上，连结EG，且有∠CEG=∠CEM，给出下列两个结论： ①的值不变； ②∠GEN－∠BDF的值不变. 其中只有一个是正确的，你认为哪个是正确的？讲求出不变的值是多少. 方法或规律点拨 本题主要考查了平行线的性质，以及角平分线的定义的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，依据两直线平行，内错角相等进行求解． 巩固练习 1. （2018·福建师范大学泉州附属中学初一期末）（感知）如图①，AB∥CD，点E在直线AB与CD之间，连结AE、BE，试说明∠BAE+∠DCE=∠AEC； （探究）当点E在如图②的位置时，其他条件不变，试说明∠AEC+∠BAE+∠DCE=360°； （应用）点E、F、G在直线AB与CD之间，连结AE、EF、FG和CG，其他条件不变，如图③，若∠EFG=36°，则∠BAE+∠AEF+∠FGC+∠DCG=______°. 3. （2019·黑龙江初一期中）如图AB∥CD，点H在CD上，点E、F在AB上，点G在AB、CD之间，连接FG、GH、HE，HG⊥HE，垂足为H，FG⊥HG，垂足为G. （1）求证：∠EHC+∠GFE=180°. （2）如图2，HM平分∠CHG，交AB于点M，GK平分∠FGH，交HM于点K，求证：∠GHD=2∠EHM. （3）如图3，EP平分∠FEH，交HM于点N，交GK于点P，若∠BFG=50°,求∠NPK的度数. 类型二：以三角板为背景的问题 典例：（2020·四川初一期末）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°)． （1）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由． （2）当∠ACE<180°且点E在直线AC的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出∠ACE所有可能的度数及对应情况下的平行线(不必说明理由)；若不存在，请说明理由． 方法或规律点拨 本题以三角板内包含的特殊角度和三角板的变换为基础，考查了平行线的性质和判定的综合应用，解决问题的关键注意经过数形结合解决问题． 巩固练习 1. （2019·全国初一月考）一副三角板的三个内角分别是，，和，，，按如图所示叠放在一起，若固定三角形，改变三角形的位置（其中点位置始终不变），可以摆成不同的位置，使两块三角板至少有一组的边平行.设. （1）如图1中，请你探索当为多少时，，并说明理由； （2）如图2中，当______时，； （3）若使两块三角板至少有一组的边平行，请直接写出的度数及平行的直线. 2. （2018·全国初一月考）一副直角三角板叠放如图所示，现将含45°角的三角板ADE固定不动，把含30°角的三角板ABC绕顶点A顺时针旋转∠α（α=∠BAD且0°＜α＜180°），使两块三角板至少有一组边平行．计算出旋转角α，并用符号表示平行的边。 类型三：应用平行线的性质和判定求角度 典例：（2019·广东初一期末）如图，，，CE平分，． （1）求的度数； （2）若，求的度数． 方法或规律点拨 此类问题主要考查利用平行线的性质和判定，通过数形结合，进行等角转换，即可解题. 巩固练习 1. （2019·四川初一期中）如图，已知∠1＝∠BDC，∠2＋∠3＝180°． (1) 请你判断DA与CE的位置关系，并说明理由； (2) 若DA平分∠BDC，CE⊥AE于点E，∠1＝70°，试求∠FAB的度数． 2. （2019·泸西县中枢镇逸圃初级中学初一期中）如图，∠AFD=∠1，AC∥DE． (1)试说明：DF∥BC； (2)若∠1=68°，DF平分∠ADE，求∠B的度数． 3.（2019·九江市同文中学初一期中）已知：如图1，射线OP∥AE，∠AOP的角平分线交射线AE于点B． （1）若∠A=50°，求∠ABO的度数； （2）如图2，若点C在射线AE上，OB平分∠AOC交AE于点B，OD平分∠COP交AE于点D，∠ABO-∠AOB=70°，求∠ADO的度数； （3）如图3，若∠A=α，依次作出∠AOP的角平分线OB，∠BOP的角平分线OB1，∠B1OP的角平分线OB2，…，∠Bn-1OP的角平分线OBn，其中点B，B1，B2，…，Bn-1，B