专题01 直线与圆-2020年高考数学(文)解析几何分类突破辅导【学科网名师堂】

《小题分类突破》的考点七：解析几何（文） 专题01 直线与圆 一、分类透析 分类透析一 圆的方程及其应用 例1已知圆C关于y轴对称，经过点(1,0)且被x轴分成两段弧长比为1∶2，则圆C的方程为 (　　) A.2＋y2＝ B.2＋y2＝ C．x2＋2＝ D．x2＋2＝ 解析 由已知圆心在y轴上，且被x轴所分劣弧所对圆心角为，，即a＝±，|a|＝，即r2＝＝|a|，解得r＝＝1，rcosπ，设圆心(0，a), 半径为r，则rsin 故圆C的方程为x2＋，选C.2＝ 答案 C　 【方法技巧】关于确定圆的标准方程问题，可以利用待定系数法、几何法等知识，进行处理，而确定圆心和半径是解题的关键，可以借助于圆的几何性质帮助找到圆心和半径。 例2已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积为________． 解析 设P(x，y)，由题意知有，(x＋2)2＋y2＝4[(x－1)2＋y2]，整理得x2－4x＋y2＝0，配方得(x－2)2＋y2＝4.可知圆的面积为4π. 答案4π 【方法技巧】求解圆的面积，其关键是确定圆的半径，本题只需直接利用距离关系，得到其轨迹方程，然后，探讨出该轨迹的形状，然后，再确定其面积即可，此方法为直接法确定动点的轨迹方程，比较容易掌握。 分类透析二 直线与圆的位置关系的判定与应用 例3直线2tx－y－2－2t＝0(t∈R)与圆x2＋y2－2x＋4y－4＝0的位置关系为(　　) A．相离　 B．相切 C．相交 D．以上都有可能 解析 由已知，得圆方程可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝9， ∴圆心为(1，－2)，半径r＝3. 又圆心在直线2tx－y－2－2t＝0上， ∴直线与圆相交，选C． 答案 C 【方法技巧】判定直线与圆的位置关系，可以利用代数法和几何法进行判定，代数法就是利用方程的根的个数多少进行判定，几何法就是利用圆心到直线的距离和其半径进行大小比较，从而确定其位置关系。 例4已知直线l：y＝－(x－1)与圆O：x2＋y2＝1在第一象限内交于点M，且l与y轴交于点A，则△MOA的面积等于________． 解析：依题意，直线l：y＝－)．(x－1)与y轴的交点A的坐标为(0， 由，得，点M的横坐标xM＝ 所以△MOA的面积为：S＝.＝××|OA|×xM＝ 答案： 【方法技巧】依据直线与圆的位置不同，构造出一些平面图形问题，解题时，注意平面图形问题的处理思路和方法，涉及到面积时，可以借助于一些圆的面积进行计算。 分类透析三 圆的切线和弦长问题 例5过点(1,1)的直线与圆(x－2)2＋(y－3)2＝9相交于A，B两点，则|AB|的最小值为(　　) A．2 D．5 B．4 C．2 解析 由圆的几何性质可知，当点(1,1)为弦AB的中点时，|AB|的值最小，此时|AB|＝2＝4.＝2 答案 B　 【方法技巧】首先，判断已知点和圆的位置关系，若已知点在圆外，则此时最小值为0，若该点在圆内，则该点为弦AB的中点时，|AB|的值最小，此时，最大值为已知圆的直径。 例6已知点M(3,1)，直线ax－y＋4＝0及圆(x－1)2＋(y－2)2＝4，则过M点的圆的切线方程为_______． 解析 结合已知条件，得圆心C(1,2)，半径为r＝2，当直线的斜率不存在时，方程为x＝3. 由圆心C(1,2)到直线x＝3的距离d＝3－1＝2＝r知，此时，直线与圆相切． 当直线的斜率存在时，设方程为y－1＝k(x－3)， 即kx－y＋1－3k＝0，由题意知(x－3)，，故方程为y－1＝＝2，解得k＝ 即3x－4y－5＝0. 综上，过M点的圆的切线方程为x＝3或3x－4y－5＝0. 答案x＝3或3x－4y－5＝0 【方法技巧】解决圆的切线问题，求解关键是确定切线的斜率，可以根据直线与圆的相切的条件进行处理，尤其需要注意直线的斜率是否存在。 二、刷高考改编题 1.高考原题（2018年·江苏卷第12题）在平面直角坐标系 中，A为直线 上在第一象限内的点， ，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若 ，则点A的横坐标为 ． 改编如下： 在平面直角坐标系 中，A为直线 上在第一象限内的点， ，过B点做直线的垂线，垂足为A，以AB为直径的圆C，则圆心C的横坐标为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解析 据题，得直线AB的方程为： 联立方程组 ， 解得 ，所以A（1，2）故线段AB的中点C（3，1），则C点横坐标为3，选B。 答案 B 点评 高考原题考查圆的方程的确定和圆的性质，而改编后，则将直线方程和圆的标准方程相结合，全面考查其解题精髓。 2.高考原题（201