专题02 椭圆-2020年高考数学(文)解析几何分类突破辅导【学科网名师堂】

《小题分类突破》的考点七：解析几何（文） 专题02 椭 圆 一、分类透析 分类透析一 椭圆的定义及其应用 例1　设F1、F2分别是椭圆＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为(　　) ＋ A．4 B．3 C．2 D．5 解析 由题意知|OM|＝|PF2|＝3，∴|PF2|＝6，∴|PF1|＝2a－|PF2|＝10－6＝4. 答案 A　 【方法技巧】依据椭圆的定义解决问题时，需要落实椭圆上一点到其一个焦点的距离，才能确定其到另一个焦点的距离，常常需要结合图形的特征进行距离的转化。 例2线段AB＝4，PA＋PB＝6，M是AB的中点，当P点在同一平面内运动时，PM的长度的最小值是________． 解析　由于PA＋PB＝6>4＝AB，故由椭圆定义知P点的轨迹是以M为原点，A、B为焦点的椭圆，且a＝3，c＝2， ∴b＝..于是PM的长度的最小值是b＝＝ 答案　 【方法技巧】凡涉及椭圆上的点及椭圆焦点的问题，我们应首先考虑利用椭圆的定义求解. 例3如图所示，已知椭圆的方程为＝1，若点P在第二象限，且∠PF1F2＝120°，则△PF1F2的面积为 ．＋ 解析 由已知得a＝2，b＝＝1，F1F2＝2c＝2.，所以c＝ 在△PF1F2中，由余弦定理得 PF－2PF1·F1F2cos 120°，＋F1F＝PF 即PF＋4＋2PF1，①＝PF 由椭圆定义，得PF1＋PF2＝4，即PF2＝4－PF1.② 将②代入①，得PF1＝. 所以S△PF1F2＝PF1·F1F2·sin 120° ＝，＝×2×× 即△PF1F2的面积是. 答案 【方法技巧】在△PF1F2中，由椭圆的定义及余弦定理可得关于PF1，PF2的方程组，消去PF2可求PF1. 分类透析二 椭圆的标准方程及求解 例4 中心在坐标原点的椭圆，焦点在x轴上，焦距为4，离心率为，则该椭圆的方程为(　　) A.＝1＋＝1 D.＋＝1 C.＋＝1 B.＋ 解析 依题意，2c＝4，c＝2，又e＝，b＝2，，则a＝2＝ 所以椭圆的标准方程为＝1.＋ 答案 D　 【方法技巧】本题通过椭圆的简单几何性质确定其标准方程，解决此类问题时，一般首先确定其焦点位置，然后，建立或寻求 的等量关系，然后，确定这三个数的值。 例5若方程＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是________．＋ 解析：因为方程＝1表示焦点在x轴上的椭圆，所以|a|－1＞a＋3＞0，＋ 解得－3＜a＜－2，则实数a的取值范围是(－3，－2) 答案 (－3，－2) 【方法技巧】对于椭圆的焦点坐标的确定，其解题的关键是半长轴长 和半短轴长 的确定上，而对于给定的焦点位置，只需直接建立等式（或不等式）求解即可解决。 分类透析三 椭圆的几何性质及应用 例6 已知P是以F1，F2为焦点的椭圆 ＝1(a>b>0)上的一点，若＋， tan∠PF1F2＝，则此椭圆的离心率为(　　) A. D. C. B. 解析 ∵ ，∴ ，∴|PF1|＋|PF2|＝.＝c＝2a，∴e＝ 答案 D　 【方法技巧】对于椭圆的简单几何性质问题，涉及到有关离心率问题，常需要依据椭圆的性质并结合已知条件建立关于 的等量关系，然后确定其离心率。 例7若点(x，y)在＝1 (b>0)上运动，则x2＋2y的最大值为 ．＋ 解析 ∵＝1 (b>0)，＋ ∴x2＝4≥0，即－b≤y≤b. ∴x2＋2y＝4.2＋4＋＋2y＋4＝－＋2y＝－ 当>b，即b>4时，若y＝b，则x2＋2y取得最大值，其最大值为2b.；当，则x2＋2y取得最大值，其最大值为4＋≤b，即0<b≤4时，若y＝ 综上所述，x2＋2y的最大值为 答案 当0<b≤4时，最大值为4＋；当b>4时，最大值为2b。 【方法技巧】很多与圆锥曲线有关的问题中的各个数量在运动变化时，都是相互联系、相互制约的，它们之间构成函数关系．这类问题若用函数思想来分析、寻找解题思路，会有很好的效果．此类最值问题常用函数思想进行解决。 二、刷高考改编题 1.高考原题（2018年·上海卷第13题）设P是椭圆 + =1上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ） A. B. C. D. 改编如下： 设P是椭圆 + =1 上的动点，且P到该椭圆的两个焦点的距离之和为10，则 的值为（ ） A. B. C. D. 解析 据题，判定该椭圆的焦点必在 轴上，故有 ，解得 ，选B。 答案 B 点评 高考原题侧重考查椭圆的定义，而改编后的题目，则结合焦点位置问