专题1.1 三角形的证明章末重难点题型（举一反三）-2019-2020学年八年级下册数学举一反三系列（北师大版）

专题1.1 三角形的证明章末重难点题型 【北师大版】 【考点1 等腰三角形的性质】 【方法点拨】掌握等腰三角形的性质： 1.等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是它的对称轴。 2.等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角”）。 3.等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合（简称“三线合一”）。 【例1】（2018春•金水区校级期中）已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在的直线的夹角为40°，则此等腰三角形的顶角是（　　） A．50° B．130° C．50°或 140° D．50°或 130° 【变式1-1】（2018秋•洪山区期中）如图，已知AB＝AC＝BD，则∠1与∠2的关系是（　　） A．3∠1﹣∠2＝180° B．2∠1+∠2＝180° C．∠1+3∠2＝180° D．∠1＝2∠2 【变式1-2】（2018秋•邗江区期中）如图，若AB＝AC，下列三角形能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（　　） A．（1）（2）（3） B．（1）（3）（4） C．（2）（3）（4） D．（1）（2）（4） 【变式1-3】（2018秋•新吴区期中）如图，在第一个△ABA1中∠B＝20°，AB＝A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2＝A1C，得到第二个△A1A2C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3＝A2D；…，按此做法进行下去，则以点A4为顶点的等腰三角形的底角的度数为（　　） A．175° B．170° C．10° D．5° 【考点2 等腰三角形的判定】 【方法点拨】掌握等腰三角形的判定： 等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。简称“等角对等边” 牢记：（1）等腰三角形的性质“等边对等角”与等腰三角形的判定“等角对等边”的条件和结论正好相反，要注意区分； （2）判定定理可以用来判定一个三角形是等腰三角形，同时也是今后证明两条线段相等的重要依据。 【例2】（2019春•深圳期中）如图，DE∥BC，CG＝GB，∠1＝∠2，求证：△DGE是等腰三角形． 【变式2-1】（2018秋•双阳区校级期中）如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．求证：△BED是等腰三角形． 【变式2-2】（2018秋•鸠江区期中）已知：如图，O为△ABC的∠BAC的角平分线上一点，∠1＝∠2，求证：△ABC是等腰三角形． 【变式2-3】（2019秋•望谟县期中）已知：如图，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB＝OC． 求证：△ABC是等腰三角形． 【考点3 “三线合一”性质的应用】 【方法点拨】等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合（简称“三线合一”）。 【例3】（2019秋•武昌区期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，BE平分∠ABC，G为EF的中点，求证：AG⊥EF． 【变式3-1】（2019秋•青山区期中）在△ABC中，BC边上的高AG平分∠BAC． （1）如图1，求证：AB＝AC； （2）如图2，点D、E在△ABC的边BC上，AD＝AE，BC＝10cm，DE＝6cm，求BD的长． 【变式3-2】（2019•衡阳校级期中）已知：如图，在等边三角形ABC的AC边上取中点D，BC的延长线上取一点E，使CE＝CD．求证：BD＝DE． 【变式3-3】如图所示，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC． （1）若D为BC的中点，过D作DM⊥DN分别交AB、AC于M、N，求证：DM＝DN； （2）若DM⊥DN分别和BA、AC延长线交于M、N，问DM和DN有何数量关系，并证明． 【考点4 等边三角形的判定与性质】 【方法点拨】等边三角形的性质： （1）等边三角形是轴对称图形，并且具有3条对称轴； （2）等边三角形的每个角都等于60°。 等边三角形的判定： （1）三边相等的三角形是等边三角形。 （2）三个角都相等的三角形是等边三角形。 （3）有两个角是60°的三角形是等边三角形。 （4）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 【例4】（2018秋•松桃县期末）如图，点P，M，N分别在等边△ABC的各边上，且MP⊥AB于点P，MN⊥BC于点M，PN⊥AC于点N． （1）求证：△PMN是等边三角形； （2）若AB＝12cm，求CM的长． 【变式4-1】（2018秋•邵阳县期末）如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC （1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由； （2）若BC＝10，求△ODE的周长． 【变式4-2】（2019秋•寿光市期末）如图，A、B、C三点在同一直线上，分别以AB、BC为边，在直线AC的同侧作等边△ABD和等边△BCE，连接AE交BD于点M，连接CD交BE于