沪教版高二下册数学教案：12.4双曲线 (2份打包)

双曲线 知识梳理 1.双曲线的定义 平面内，到两定点、的距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹称为双曲线，其中两定点、称为双曲线的焦点，定长称为双曲线的实轴长，线段的长称为双曲线的焦距. 2.双曲线的简单性质 标准方程 顶点坐标 焦点坐标 左焦点，右焦点 上焦点，下焦点 虚轴与虚轴 实轴长、虚轴长 实轴长、虚轴长 有界性 ， 对称性 关于轴对称，关于轴对称，同时也关于原点对称. 3.渐近线 双曲线的渐近线为，即，或. 【注】 ①与双曲线具有相同渐近线的双曲线方程可以设为； ②渐近线为的双曲线方程可以设为； ③共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线.共轭双曲线具有相同的渐近线. ④等轴双曲线：实轴与虚轴相等的双曲线称为等轴双曲线. 4.焦点三角形 为双曲线上的任意一点，，为双曲线的左右焦点，称为双曲线的焦点三角形.若，则焦点三角形的面积为：. 5. 直线与双曲线的位置关系 直线，双曲线：，则 与相交； 与相切； 与相离. 6. 平行于（不重合）渐近线的直线与双曲线只有一个交点. 【注】过平面内一定点作直线与双曲线只有一个交点，这样的直线可以为4条、3条、2条，或者0条. 7. 双曲线上任意两点的坐标性质 为双曲线上的任意两点，且，则. 【推广1】直线过双曲线的中心，与双曲线交于两点，为双曲线上的任意一点，则（均存在）. 【推广2】设直线交双曲线于两点，交直线于点．若为的中点，则. 8. 中点弦的斜率 直线过与双曲线交于两点，且，则直线的斜率. 典型例题 题型1：双曲线的定义与简单性质 例1. ⑴若表示椭圆，则的取值范围是 . ⑵若表示双曲线，则的取值范围是 . 例2. 若为双曲线的方程，则该双曲线的焦距为 ． 例3. 双曲线的两条渐近线的夹角为，则为 ． 例4. 求与圆和圆都外切的圆的圆心的轨迹方程. 例5. 求与双曲线有共同的渐近线，且过点的双曲线方程. 例6. 求与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线方程. 例7. 求与椭圆有共同焦点，且它们的交点中的一个纵坐标为4的双曲线方程. 例8. 已知为双曲线的左右焦点，点为双曲线上一点. ⑴若，求的值； ⑵若，求的值 [来源:学科网] 例9. 设是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为，分别是双曲线的左、右焦点，若，则等于________．[来源:学#科#网] 例10. 点为双曲线上的点，、为左、右焦点. 若，则的面积是 . 例11.点在双曲线的右支上，若点到右焦点的距离等于，则 . 题型二：直线与双曲线的位置关系 例12. ⑴过点且与双曲线有且仅有一个公共点的直线有几条？ ⑵若改为点呢？点呢？ 例13.过双曲线的右焦点作直线交曲线于两点，若，则这样的直线有几条？ 题型三：综合类问题 例14.已知直线与双曲线相交于和. 中点为，为坐标原点，证明：为定值. 例15.已知中心在原点的双曲线的一个焦点是，一条渐近线的方程是. ⑴求双曲线的方程； ⑵若以为斜率的直线与双曲线相交于两个不同的点、，线段的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求的取值范围. 例16.已知双曲线方程为：. ⑴已知直线与双曲线交于不同的两点，且线段的中点在圆上，求的值； ⑵设直线是圆：上动点处的切线，与双曲线交于不同的两点，证明的大小为定值. 【过关检测】 【基础】 1、双曲线的渐近线方程为，焦距为，这双曲线的方程为_________. 2、设分别是双曲线的左右焦点,若点在双曲线上，且，则=_________. 3、双曲线的左、右焦点、，是双曲线上的动点，且，则_________. 4、设是双曲线的两个焦点，点是双曲线的任意一点，且，求的面积. 5、已知直线与双曲线有两个不同的交点，如果以为直径的圆恰好过原点, 试求的值. [来源:学科网ZXXK][来源:学§科§网] 【巩固】 1、已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程为_________. 2、已知直线与双曲线相交于两点，那么是否存在实数使得两点关于直线对称？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 3、已知双曲线的右焦点为，若过点的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，求此直线的斜率的取值范围为_________. 4、已知是双曲线的左焦点，,是双曲线右支上的动点，求的最小值. 5、设是等轴双曲线的平行于实轴的任一弦，求证它的两端点与实轴任一顶点的连线成直角. 【拔高】 1、如果函数的图像与曲线恰好有两个不同的公共点，则实数的取值范围是（ ） A． B. C. D. [