沪教版高二下册数学教案：12.2圆的方程与性质 (2份打包)

讲义 学员编号： 年 级： 课 时 数： 学员姓名： 辅导科目： 学科教师： 授课类型 T C T 授课日期及时段 ××年××月××日 ××：××——××：×× 教学内容 圆锥曲线 圆的方程 1、圆的标准方程： 以点 为圆心、 为半径的圆的标准方程为： 。 特别地，圆心在原点， 为半径的圆的标准方程为： 。 例1：根据下列条件，求圆的方程： （1）以 为圆心，且和直线 相切； （2）过点 且圆心在直线 上； （3）经过 三点。 解：（1）因为圆C与直线 相切，所以半径即为圆心C到直线 的距离。 ，所以圆的方程为 。 （2）方法一：待定系数法：设所求圆的方程为 ，则由题得： 所以所求的圆的方程为： 。 方法二：根据圆的性质，圆心在线段AB的垂直平分线 上。 由 ，得圆心坐标为 ，半径 ， 所以所求圆的方程为： 。 （3）由圆的性质知，圆心即是线段AB的中垂线与线段BC的中垂线的交点。 AB中垂线的方程为： ，BC的中垂线的方程为： ， 所以圆心坐标为 ，半径 。 所以所求圆的方程为： 。 例2：圆拱桥的一孔圆拱如图所示，该圆拱的跨度 米，拱高 米，在建造时每隔 米需用一个支柱支撑，求支柱 的长度（精确到 米）。 解：建立如图直角坐标系：设圆的半径为 ， 则圆心M到直线AB的距离 ， 又 ，所以 ，得[来源:学科网] ，所以圆心 。 得圆拱的方程为： 。 将 代入得： 。即支柱 的长大约为3.86米。 2、点和圆的位置关系： 设点 ，圆 。 当 ，或 时，点M在圆外； 当 ，或 时，点 在圆上； 当 ，或 时，点 在圆内。 例3：已知抛物线 与 轴交于 、 两点，以 为直径作圆，求： （1） 的取值范围； （2）圆的方程； （3） 的取值范围，使抛物线的顶点在圆的内部。 解：（1） ； （2） ； （3） 。 3、直线与圆的位置关系： 讨论直线与圆的位置关系可以有两种途径： 一是代数方法，联立直线方程与圆方程得方程组，利用判别式确定解的个数； 另一方法是几何法，比较圆心到直线的距离 与半径 的大小。 当 ，或 时，直线与圆相交； 当 ，或 时，直线与圆相切； 当 ，或 时，直线与圆相离。 4、弦长问题：设直线 与圆交于 、 。 （1）几何法：设圆心到直线距离为 ，圆的半径为 ，则弦长 （2）代数法： 。 例4：已知直线 经过点 ，圆 。 （1）若直线 被圆C所截得的弦长为 ，求直线 的方程； （2）若直线 与圆有公共点，求直线 斜率的取值范围； （3）设直线 与圆交于 两点，求AB中点 的轨迹方程； （4）若直线 与圆交于 两点， ，求△ 面积的最大值，并求出取得最大值时的直线 的方程。 解：（1）设直线 的方程为 ，由圆半径为 ，过圆心C作直线 的垂线，垂足为D，则 。 即圆心C到直线 距离 ，解得： ， 即所求的直线方程为 或 。 （2）由圆与直线有公共点，所以 ，解得： 。 （3）由 是AB的中点，则 ，所以 ，设 ， ， ， ，即 ，所以 ， 又点D在圆内，所以 。即所求轨迹方程为 EMBED Equation.DSMT4 。 （4）设圆心到直线 的距离为 ，因为圆与直线相交，则 。 那么 被圆所截的弦长为 ， 所以 ， 当 ，即 时，△ 面积的最大值为 。 此时圆心到直线的距离为 ，由 ，得 。 所以直线的方程为 。 5、圆的一般方程： 圆的标准方程： ，其中 是圆心， 是圆的半径。 将圆的标准方程展开、整理得 ， 由此可见，任何一个圆的方程都可以写成： 　　　（1） 反过来：对于方程 （1）， 将其配方得： 　　（2） 当 时，方程表示圆心为 ，半径为 的圆； 当 时，方程表示一个点 ； 当 时，方程没有任何图形。 因此，当 时，方程（1）才表示圆。此方程称为圆的一般方程。 6、圆的标准方程与圆的一般方程特征分析： 圆的标准方程反映了圆的几何特征，可以看出圆心坐标与半径；圆的一般方程反映出圆方程的代数特征： 项的系数相等，不含有 这样的项。 思考：若关于 的二元二次方程： 能表示圆的方程，请写出系数A、B、C、D、E、F所满足的条件。 ， ， 。 [来源:学#科#网Z#X#X#K] 例5：求经过点 的圆的方程。 解：设圆的方程为 ， 将点A、B、C坐标代入得： ，解得： ， 所以所求圆的方程为 。 [来源:学科网] 例6：已知直线 ，圆 ，求直线 被圆截得的弦长。 解：将圆方程配方后得： ，所以其圆心坐标为 ，半径为5， 圆心