专题五：利用勾股计算来处理有关三角形的折叠类计算问题-2019-2020学年八年级下册初二数学专题点化提高训练

专题五：利用勾股计算来处理有关三角形的折叠类计算问题 导例：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于D，沿DE所在直线折叠，使点B恰好与点A重合，若CD=2，则AB的值为（　 　）． A. 2   B. 4    C. 4      D. 8 方法指引 图形的折叠是指把某个图形沿某条直线翻折，这边直线为对称轴，在折叠过程中，线段的长度及角度不会发生变化，由图形的折叠变换产生的几何问题称为翻折问题． 解决图形类折叠问题的关键，首先要正确添加完整显示折起部分与重合部分的辅助线；了解到折起部分与重合部分的全等属性，并注意运用全等形的性质． 折叠问题思路剖析 问题1：折叠问题的处理框架是什么？ 答：读题标注，整合信息（即明确所研究的背景图形）． 问题2：分析折叠过程需要关注四个层次是什么？ 答：①全等变换：对应边相等，对应角相等； ②对应点：对应点所连线段被折痕垂直平分，且折痕上的点到每对对应点的距离相等，形成相应的等腰三角形； ③新关系：折叠会产生_________； ④应用：当题目中出现__________的时候考虑对称结构． 问题3：折叠过程中常见的结构有哪些： 答：折叠会产生垂直平分，等腰三角形，翻折图形保持着原来图形中各部分之间的相对应的位置关系，注意折痕作为垂直平分线在图形中的作用， 问题4：折叠背景下对勾股定理的应用，折叠这个条件可以怎么用？勾股定理怎么用？ 答：我们知道勾股定理建立起了“数”与“形”的完美结合，应用勾股定理可以解与图形有关的折叠类计算问题，首先要用字母化来表示相应的量，再依据题中信息建立方程或函数等关系式，体会数形结合思想的运用，必要时从动手操作中寻找答案，都是解该类问题常用的技巧． 问题5：折叠过程中常注意的到的分情况类讨论有哪些？ 答：从直角的思考角度，当出现垂直时，如果与角度有关，考虑直角三角形两锐角互余；如果与边长有关，考虑列勾股方程；如果有多个直角出现，考虑分情况讨论． · 知识点睛 折叠问题的解决思路要注意以下几块： 1.研究背景图形，引入字母并标注，再构造方程； 2.分析折叠过程中，边角的转移和对等，对应点所成的等腰三角形的作用； 3.对于不明结论的问题，注意分情况讨论及全等、勾股定理的运用 4.翻折或对称中建构勾股方程来求取线段长 【导例解析】由折叠的性质知，叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等． ∵BD平分∠ABC，∠DBA=∠A，∴∠CBD=∠DBA=∠A， ∴∠CBD+∠DBA+∠A=90°，∠CBD=∠DBA=∠A=30°． 在Rt△BCD中，∠CBD=30°，CD=2，∴BC=2． 在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=2，∴AB=4． 典型例题 类型一：折叠中利用固定落点的位置结合勾股关系处理线段长的计算问题 例1. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，连CE，则线段CE的长等于（　　）． A．2 B． C． D． 【分析】连接BE交AD于O，作AH⊥BC于H．首先证明AD垂直平分线段BE，△BCE是直角三角形，求出BC、BE，在Rt△BCE中，利用勾股定理即可解决问题． 类型二：折叠中依据不定落点的有迹性，进行作图，分类讨论解决多解问题 例2.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，+1，点M，N分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′始终落在边AC上，若△MB′C为直角三角形，则BM的长为____________． 【分析】①如图1，当∠B′MC=90°，B′与A重合，M是BC的中点，于是得到结论； ②如图2，当∠MB′C=90°，推出△CMB′是等腰直角三角形，得到CM=MB′，列方程即可得到结论． 强化练习 1．如图，在Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC折叠，使点A与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为( )． A. 　 B. C. 　4　 D. 　5 2．如图，已知△ABC中，∠CAB=∠B=30°，AB=2，点D在BC边上，把△ABC沿AD翻折使AB与AC重合，得△AB′D，则△ABC与△AB′D重叠部分的面积为（　　）． 　 A． B． C． 3﹣ D． 3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，BC=1，D在AC上，将△ADB沿直线BD翻折后，点A落在点E处，如果AD⊥ED，那么△ABE的面积是（　　） A．1 B． C． D． 4．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B′重合，AE为折痕，则EB′＝________． 5.如图的实线部分是由Rt△ABC经过两次折叠得到