专题七：最短路径——利用勾股来处理“胡不归点”（PA+k·PB型）直线型轨迹问题-2019-2020学年八年级下册初二数学专题点化提高训练

专题七：最短路径——利用勾股来处理“胡不归点”（PA+k·PB型）直线型轨迹问题 导例：如图，∠AOB=30°，OC=2，在OA上找一点M在OB上找一点N，使得CM+MN最小，求出此最小值． 方法点睛 点P在直线上运动-------“胡不归”问题 几何“PA + k·PB”型的最值问题，如图1，当 k≠1 且 k 为正数时，若点 P 在某条直线上运动时，此时所求的最短路径问题称之为“胡不归”问题．那么对于当“PA + k·PB”的值最小时，点 P 的位置如何确定呢? 分析：问题的关键在于如何确定“k·PB”的大小，过点 P 作 PQ⊥BN，垂足为 Q，如图2，在Rt△PBQ中，把 k·PB进行转化，往往可得 k·PB= PQ．因此，本题求“PA + k·PB”的最小值转化为求“PA +PQ”的最小值(如图3 所示)，即 A，P，Q 三点共线时最小．此时利用“两点之间线段最短”，化“折”为“直”，再利用“垂线段最短”解决问题 图1 图2 图3 · 线段最值问题常用原理： ①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；   ②两点间线段最短；     ③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短． · 规律总结： 1.消系数，作角（也可转化角）时，以定点、定边向“异侧”作射线，在直角三角形，将“k· PA”转化，“PA+k·PB”中，k=，，，可作出相应的30°，45°，60°的角； 2.作垂线，转化为垂线段问题． 说明：一般系数k满足0＜k＜1时，直接构造，若K＞1时，需要先提取系数，比如PA+2PB=2（PA+PB），PA+PB=（PA+PB），提取系数2之后，答案的最小值不要忘记乘相应的系数. · 常见模型：两定一动，动点在定直线上运动 【导例解析】如图所示，作点C关于OA的对称点C′，过C′作C′N⊥OB于N交OA于M，此时得CM+MN≥C′N． 在Rt△C′ON中，∠C′ON=60°，OC′=2，∴C′N=．∴CM+MN≥． 典型例题 例1．如图， ，在上， ，点是上的一动点， ，垂足为点，则PM+PA的最小值为 ． 例2.如图，△ABC中，AB＝4，AC＝6，∠A＝30°，点D为AC边上一动点，则AD+DB的最小值___． 例3.如图，已知A(－2,0)、B(4, 0)、．设F为线段BD上一点（不含端点），连结AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止．当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？ 例4．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，延长BC至D使CD＝BC，连接AD． （1）求证：△ABD是等边三角形； （2）若E为线段CD的中点，且AD＝4，点P为线段AC上一动点，连接EP，BP． ①求EPAP的最小值； ②求2BP+AP的最小值． $$ 专题七：最短路径——利用勾股来处理“胡不归点”（PA+k·PB型）直线型轨迹问题答案 例1．作点M关于AB的对称点N，过N作NQ⊥AC于Q，交AB于P，则NQ的长即为PM+PQ的最小值，连接MN交AB于点D，则MD⊥AB，DM=DN．∵∠NPB=∠APQ，∴∠N=∠BAC=30°．∵∠BAC=30°，AM=2 ， ∴MD=AM=1． ∴MN=2 ∴NQ=． 例2. 作∠DAE＝30°，DE⊥AE，在Rt△AED中，ED＝AD，∴ AD+BD＝ED+BD. 则由图可知，当BF⊥AE时，BF长即为AD+BD的最小值. 在Rt△ABF中，∠FAB＝60°，AF＝2，BF＝故答案为. 例3.点B(4, 0)、的坐标隐含了∠DBA＝30°，不由得让我们联想到30°角所对的直角边等于斜边的一半．如果把动点M在两条线段上的速度统一起来，问题就转化了． 如图1，在Rt△DEF中，FD＝2FE．如果点M沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到点D时，那么点M沿线段FE以每秒1个单位的速度正好运动到点E．因此当AF＋FE最小时，点M用时最少．如图2，当AE⊥DE时，AF＋FE最小，此时F． 图1 图2 例4．（1）∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴AC⊥BD，∠B＝60°． ∵DC＝CB，∴AD＝AB． ∵∠B＝60°，∴△ABD是等边三角形． （2）①如图1中，作PF⊥AB于F，EF′⊥AB于F′，交AC于P′． ∵∠PAF＝30°，∠PFA＝90°，∴PFPA．∴PEPA＝PE+PF． ∴当E、P、F共线时，即EF′⊥AB时，PE+PF最短，最小值为线段EF′， 在Rt△EF′B中，∠B＝60