微专题05 圆锥曲线中的定点、定值及证明问题-2020高考数学（理）二轮复习微专题聚焦

微专题05 圆锥曲线中的定点、定值及证明问题 ——2020高考数学（理）二轮复习微专题聚焦 【考情分析】圆锥曲线中的定点、定值问题是高考命题的常考题型，无论是选择题、填空题，还是解答题，只要考查与曲线有关的运动变化，都可能涉及探究定点或定值，注重与平面向量、函数、二次方程、不等式等融合与渗透，因而这类问题考查范围广泛，命题形式新颖，难度一般较大。 【前备知识】 1、直线与圆锥曲线的三种位置关系 将直线方程与圆锥曲线方程联立,化简后得到关于x(或y)的一元二次方程,则直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况: (1)相交:Δ>0⇔直线与椭圆相交;Δ>0⇒直线与双曲线相交,但直线与双曲线相交不一定有Δ>0,故Δ>0是直线与双曲线相交的充分不必要条件;Δ>0⇒直线与抛物线相交,但直线与抛物线相交不一定有Δ>0,故Δ>0也仅是直线与抛物线相交的充分条件,而不是必要条件. (2)相切:Δ=0⇔直线与椭圆相切;Δ=0⇔直线与双曲线相切;Δ=0⇔直线与抛物线相切. (3)相离:Δ<0⇔直线与椭圆相离;Δ<0⇔直线与双曲线相离;Δ<0⇔直线与抛物线相离. 2、直线与圆锥曲线相交时的常见问题的处理方法 (1)涉及弦长问题,常用“根与系数的关系”,采用设而不求,利用弦长公式计算弦长. (2)涉及弦中点的问题,常用“点差法”设而不求,将动点的坐标、弦中点坐标和弦所在直线的斜率联系起来,相互转化. (3)特别注意利用公式求弦长时,是在方程有解的情况下进行的,不要忽略判别式,判别式大于零是检验所求参数的值是否有意义的依据. 考点一 圆锥曲线的定点问题 【例1】已知抛物线y2=2px(p>0)上的点T(3,t)到焦点F的距离为4. (1)求t,p的值. (2)设A,B是抛物线上分别位于x轴两侧的两个动点,且·=5(其中O为坐标原点).求证:直线AB过定点,并求出该定点的坐标. 【解析】(1)由抛物线的定义得,3+=4,解得p=2, 所以抛物线的方程为y2=4x,代入点T(3,t),解得. (2)设直线AB的方程为x=my+n,, 联立消元得y2-4my-4n=0,则y1+y2=4m,y1y2=-4n, 由·=5,得, 所以y1y2=-20或y1y2=4(舍去), 即-4n=-20,即n=5,所以直线AB的方程为x=my+5, 所以直线AB过定点(5,0). 【方法归纳 提炼素养】——数学思想是数形