第一章 解三角形（单元小结）-2019-2020学年高一数学下册同步精品课堂（人教A版必修5）

第一章 解三角形（单元小结） [核心速填] 1．正弦定理 (1)公式表达：＝2R. ＝＝ (2)公式变形： ①a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； ②sin A＝； ，sin C＝，sin B＝ ③a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； ④＝2R. ＝＝＝ 2．余弦定理 (1)公式表达： a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝a2＋c2－2accos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C. (2)推论：cos A＝. ，cos C＝，cos B＝ 3．三角形中常用的面积公式 (1)S＝ah(h表示边a上的高)； (2)S＝absin C； acsin B＝bcsin A＝ (3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)． [体系构建] [题型探究] 利用正、余弦定理解三角形 　在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2acos B. (1)证明：A＝2B； (2)若△ABC的面积S＝，求角A的大小. [规律方法]　解三角形的一般方法：,(1)已知两角和一边，如已知A、B和c，由A＋B＋C＝π求C，由正弦定理求a、b. (2)已知两边和这两边的夹角，如已知a、b和C，应先用余弦定理求c，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A＋B＋C＝π，求另一角. (3)已知两边和其中一边的对角，如已知a、b和A，应先用正弦定理求B，由A＋B＋C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解可能有多种情况. (4)已知三边a、b、c，可应用余弦定理求A、B、C. [跟踪训练] 1．如图1­1，在△ABC中，∠B＝.，AB＝8，点D在BC边上，CD＝2，cos∠ADC＝ 图1­1 (1)求sin∠BAD； (2)求BD，AC的长． 判断三角形的形状 　在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状． [规律方法]　根据已知条件(通常是含有三角形的边和角的等式或不等式)判断三角形的形状时，需要灵活地应用正弦定理和余弦定理转化为边的关系或角的关系.判断三角形的形状是高考中考查能力的常见题型，此类题目要求准确地把握三角形的分类，三角形按边的关系分为等腰三角形和不等边三角形；三角形按角的关系分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形. 判断三角形的形状，一般有以下两种途径：将已知条件统一化成边的关系，用代数方法求解；将已知条件统一化成角的关系，用三角知识求解. [跟踪训练] 2．在△ABC中，若，试判断△ABC的形状. ＝ 正、余弦定理的实际应用 　如图1­2所示，某市郊外景区内有一条笔直的公路a经过三个景点A、B、C.景区管委会开发了风景优美的景点D.经测量景点D位于景点A的北偏东30°方向上8 km处，位于景点B的正北方向，还位于景点C的北偏西75°方向上．已知AB＝5 km. 图1­2 (1)景区管委会准备由景点D向景点B修建一条笔直的公路，不考虑其他因素，求出这条公路的长； (2)求景点C与景点D之间的距离．(结果精确到0.1 km) (参考数据：＝1.73，sin 75°＝0.97，cos 75°＝0.26，tan 75°＝3.73，sin 53°＝0.80，cos 53°＝0.60，tan 53°＝1.33，sin 38°＝0.62，cos 38°＝0.79，tan 38°＝0.78) [规律方法]　正弦定理、余弦定理在实际生活中有着非常广泛的应用.常用的有测量距离问题，测量高度问题，测量角度问题等.解决的基本思路是画出正确的示意图，把已知量和未知量标在示意图中目的是发现已知量与未知量之间的关系，最后确定用哪个定理转化，用哪个定理求解，并进行作答，解题时还要注意近似计算的要求. [跟踪训练] 3．如图1­3，a是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a上点A处有一个水声监测点，另两个监测点B，C分别在A的正东方20 km和54 km处．某时刻，监测点B收到发自静止目标P的一个声波信号，8 s后监测点A,20 s后监测点C相继收到这一信号，在当时气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5 km/s. 图1­3 (1)设A到P的距离为x km，用x表示B，C到P的距离，并求x的值； (2)求静止目标P到海防警戒线a的距离(精确到0.01 km). 与三角形有关的综合问题 [探究问题] 1．如图1­4所示，向量的数量积与余弦定理有怎样的联系？·的夹角是∠B吗？在△ABC中，两向量与 图1­4 提示：向量的夹角是∠B的补角，大小为180°－∠B， 与 由于|cos A＝bccos A. |·|＝|· 所以(b2＋c2－a2)，有时直接利用此结论解决与向量数量积有关的解三角形问题．＝bccos A＝· 2．在解三角形的过程中，求某一个角有时既可以用余弦定理，