解密20 直线与圆锥曲线的位置关系-备战2020年高考数学（文）之高频考点解密

解密20 直线与圆锥曲线的位置关系 高考考点 命题分析 三年高考探源 考查频率 直线与圆锥曲线的位置关系及弦长问题 解析几何的解答题一般难度较大，多为试卷的压轴题之一，常考查直线与圆锥曲线的位置关系及最值范围、定点、定值、存在性问题及证明问题，多涉及最值求法，综合性强. 2019课标全国Ⅰ 12 2018课标全国Ⅱ20 2017课标全国Ⅱ12 ★★★★★ 圆锥曲线的最值、范围、证明问题 2019课标全国Ⅱ 20 2018课标全国Ⅰ20 2018课标全国Ⅲ20 2017课标全国Ⅱ20 ★★★★★ 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题 2019课标全国Ⅰ21 2019课标全国Ⅲ 21 2017课标全国Ⅲ20 ★★★★★ 考点1 直线与圆锥曲线的位置关系及弦长问题 题组一 直线与圆锥曲线的位置关系的应用 调研1 过双曲线的右焦点，且斜率为2的直线与的右支有两个不同的公共点，则双曲线离心率的取值范围是___________． 【答案】 【解析】由题意知，故， 故. 调研2 已知椭圆，直线:y＝x＋m． (1)若与椭圆有一个公共点，求的值； (2)若与椭圆相交于P,Q两点，且|PQ|等于椭圆的短轴长，求m的值． 【解析】(1)联立直线与椭圆的方程，得，即， 由于直线与椭圆有一个公共点，则 所以. (2)设， 由(1)知：， 则|PQ|==2. 解得：. ☆技巧点拨☆ 1．直线与圆锥曲线相交或相离时，可直接联立直线与曲线的方程，结合消元后的一元二次方程求解. 2．直线与圆锥曲线相切时，尤其是对于抛物线与双曲线，要结合图形，数形结合求解. 题组二 弦长问题 调研3 已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于两点，且,则__________. 【答案】6 【解析】易知抛物线的焦点为，准线为. 如图，取的中点为，分别过作准线的垂线，垂足分别为. 由抛物线的定义可知，则. 设，则， 又，所以， 又，即，解得. 所以. 调研4 已知抛物线的焦点为F，过点F分别作两条直线，直线与抛物线C交于两点，直线与抛物线C交于两点，若直线与直线的斜率的乘积为，则的最小值为__________. 【答案】16 【解析】抛物线的焦点坐标为，依题意可知的斜率存在且不为零，设直线的斜率为，则直线的斜率为，所以， 联立，消去， 整理得， 设， 则， 故， 同理可求得. 故， 当且仅当时，等号成立， 故的最小值为. 调研5 已知椭圆的焦点在轴上，两个焦点与上顶点组成一个正三角形，且右焦点到右顶点的距离为1． （1）求椭圆的方程； （2）过点作斜率为的直线与椭圆相交于，两点，求． 【解析】（1）椭圆的焦点在轴上，两个焦点与上顶点组成一个正三角形，且右焦点到右顶点的距离为1，可得：． 故椭圆的方程为； （2）过点作斜率为的直线，可得直线的方程为：， 联立， 设， 所以， 故. 考点2 圆锥曲线的最值、范围、证明问题 题组一 圆锥曲线中的最值问题 调研1 已知F为抛物线C：的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为 A．16 B．14 C．12 D．10 【答案】A 【解析】设，直线的方程为， 联立方程，得， ∴， 同理直线与抛物线的交点满足， 由抛物线定义可知 ，当且仅当（或）时，取等号． 故选A． 调研2 如图，已知抛物线，点A，，抛物线上的点.过点B作直线AP的垂线，垂足为Q． （1）求直线AP斜率的取值范围； （2）求的最大值． 【解析】（1）设直线AP的斜率为，则， ，∴直线的斜率的取值范围是. （2）易得直线AP的方程为,即； 直线的方程为，即. 联立直线与的方程，得， 解得点Q的坐标是， 故， 又， 所以， 令，. 因为，所以 f(k)在区间上单调递增，在上单调递减， 因此当k=时，取得最大值，为． 调研3 已知椭圆及点,若直线与椭圆交于点,且为坐标原点),椭圆的离心率为. (1)求椭圆的标准方程; (2)若斜率为的直线交椭圆于不同的两点,求面积的最大值. 【答案】(1)；(2) 1. 【解析】(1)由椭圆的离心率为,得, 所以. 设点在第一象限,由椭圆的对称性可知,所以, 因为点的坐标为,所以点的坐标为, 代入椭圆的方程得,与联立, 可得, 所以椭圆的标准方程为. (2)设直线的方程为, 由得. 由题意得,, 整理得,所以或. 设, 则, 所以=. 又由题意得,到直线的距离. 的面积， 当且仅当,即时取等号,且此时满足, 所以面积的最大值为1. ☆技巧点拨☆ 求圆锥曲线中的最值问题常用的方法 1．几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，考虑用图象法来解决，这是几何法，充分体现了数形结合思想． 2．代数法：题中给