解密19 抛物线-备战2020年高考数学（文）之高频考点解密

解密19 抛物线 高考考点 命题分析 三年高考探源 考查频率 抛物线的定义及方程 抛物线的定义、方程与性质是每年高考的必考热点，选择题、填空题、解答题中均有考查，着重考查抛物线的几何性质与标准方程求法，难度中档. 2016课标全国Ⅱ 5 ★★★ 抛物线的性质 2019课标全国Ⅰ21 2019课标全国Ⅱ 9 2019课标全国Ⅲ 21 2016课标全国Ⅲ 20 ★★★ 考点1 抛物线的定义及方程 题组一 抛物线的定义的应用 调研1 已知抛物线的焦点为，抛物线上一点，若，则的面积为 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【解析】由抛物线知F（1，0），准线方程为x=﹣1， 设P（x0，y0），则|PF|=x0+1=5，即x0=4， 不妨设P在第一象限，则P（4，4）， ∴×|FO|×|y0|=×1×4=2． 故选A． ☆技巧点拨☆ 抛物线的离心率e＝1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦的问题，可以优先考虑利用抛物线的定义将点到焦点的距离转化为点到准线的距离，即或，使问题简化． 抛物线的定义常在高考中作为转为问题的工具，需熟练掌握. 题组二 求抛物线的方程 调研2 已知抛物线上的点到焦点的距离是，则抛物线的方程为 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意知，3+6a=5，则a=， ∴抛物线的方程为y2=8x． 故选A. 调研3 已知直线与焦点为F的抛物线相切. （1）求抛物线C的方程； （2）过点F的直线m与抛物线C交于A，B两点，求A，B两点到直线l的距离之和的最小值. 【解析】（1）将与抛物线联立，得， 与相切，，解得：， 抛物线的方程为. （2）由题意知，直线的斜率不为，可设直线的方程为， 联立，得， 设，，则， ， 线段的中点， 设到直线的距离分别为， 则， ，当时，， 两点到直线的距离之和的最小值为. ☆技巧点拨☆ 高考中常求抛物线的方程，一般会与其他知识相结合，求抛物线方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点的位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程. 考点2 抛物线的性质 题组一 焦点弦问题 调研1 已知点是抛物线上的两点，，点是它的焦点，若，则的值为__________． 【答案】10 【解析】由抛物线的定义可得， 依据题设可得， 则（舍去负值）， 故，应填. 调研2 已知点是抛物线的焦点，，是该抛物线上两点，，则线段的中点的横坐标为__________． 【答案】2 【解析】抛物线准线方程为， 由，可得， 即， 的中点的横坐标为. 题组二 最值问题 调研3 已知是抛物线：的焦点，点的坐标为，点是上的任意一点，当在点时，取得最大值；当在点时，取得最小值，则，两点间的距离为__________． 【答案】 【解析】由抛物线的方程为，得点的坐标为， 当平行于轴时，取得最大值，则的坐标为； 当三点共线，且点在之间时，取得最小值， 由点的坐标为，得的坐标为，所以． 调研4 设P为抛物线上的动点，P在y轴的投影为点M，点，则的最小值是________. 【答案】 【解析】由题得焦点，准线，延长PM交准线于H点，则有，，，即求出的最小值即可．已知点A在抛物线外，由三角形两边之和大于第三边可知，当点P是线段FA和抛物线的交点时，可取得最小值为，由两点之间距离公式计算求得，则的最小值是． ☆技巧点拨☆ 有关抛物线上一点M到抛物线焦点F和到已知点E（E在抛物线内）的距离之和的最小值问题，可依据抛物线的图形，过点E作准线l的垂线，其与抛物线的交点到抛物线焦点F和到已知点E的距离之和是最小值. 1．（四川省凉山州2019-2020学年高三第一次诊断性检测数学）抛物线的准线方程为 A． B． C． D． 2．（重庆市第八中学2019-2020学年高三第四次月考（12月）数学）抛物线上一点到其焦点的距离为3，则点M到坐标原点的距离为 A．2 B． C． D． 3．（山西省晋城市2019-2020学年高三第一次模拟考试数学）已知是抛物线上的一点，是抛物线的焦点，为坐标原点，若，，则抛物线的方程为 A． B． C． D． 4．（广东省潮州市2019-2020学年高三上学期期末数学）已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左顶点与抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为 A．2 B．2 C．4 D．4 5．（山西省晋城市2019-2020学年高三第一次模拟数学）斜率为的直线过抛物线的焦点，若与圆相切，则 A．12