江苏省常州市2020届高三上学期期末学业水平监测数学试题（含解析）

常州市教育学会学业水平监测 高三数学 2020.1 一、填空题： 1、已知集合 ，则A∩B＝ 答案：｛－1，1｝ 解析：B＝｛x｜x＜0或x＞0｝，所以，A∩B＝｛－1，1｝ 2、若复数 满足 则 的实部为 答案：－1 解析： ，所以，实部为－1。 3、右图是一个算法的流程图，则输出的 的值是 答案.10 解析：第1步：S＝1，i＝3；第2步：S＝1＋32＝10，i＝4＞3，退出循环，输出S＝10。 4、函数 的定义域是 答案：［0，＋∞） 解析：由二次根式的意义，有： ， 即 ，所以， 5、已知一组数据17,18,19,20,21，则该组数据的方差是 答案：2 解析：平均数为：19， 方差为： ＝2 6、某校开设5门不同的选修课程，其中3门理科类和2门文科类，某同学从中任选2门课程学习，则该同学“选到文科类选修课程”的概率是 答案： 解析：该同学“选到文科类选修课程”的可能有： ＝7， 任选2门课程，所有可能为： ＝10， 所以，所求概率为： 7、已知函数 则 答案：－ 解析： ＝ ＝－4， ＝－ 8、函数 取得最大值时自变量 的值为 答案： 解析：因为 ， 所以， ，则 ， 当 ，即 EMBED Equation.DSMT4 时，函数y取得最大值。 9、等比数列 中，若 成等差数列，则 答案：64 解析：设等比数列 的公比为q， 成等差数列， 所以， ，即 ，解得： ＝2， 所以， ＝64 10、已知 ，则 答案：－2 解析： EMBED Equation.DSMT4 ，即 ＝ ＝－2 11、在平面直角坐标系 中，双曲线 的右顶点为A,过A做 轴的垂线与C的一条渐近线交于点B,若 ，则C的离心率为 答案：2 解析：显然OA＝ ， 双曲线的渐近线为 ，不妨设过A做 轴的垂线与 交于B， 则B点坐标为（ ，b），即AB＝b， 在直角三角形OAB中，OB2＝OA2＋AB2， 即4 2＝ 2＋b2，解得： ， 所以，离心率为： ＝2 12、已知函数 互不相等的实数 满足 ，则 的最小值为 答案：14 解析：如下图，由 ，－ ＝ ， 即 ＝0， 所以， ， ＝ ＝14， 当 时取等号。 13、在平面直角坐标系 中，圆 上存在点P到点（0,1）的距离为2，则实数a的取值范围是 答案： 解析：设点P（x，y）， 点P到点（0,1）的距离为2，所以，点P的轨迹为 ＝4， 又点P在圆 上， 所以， ，解得： EMBED Equation.DSMT4 14、在 中， 点D满足 ，且对任意 恒成立，则 答案： 解析： 二、解答题： 15、在 中，角 的对边分别是 ，已知 。 （1） 若 ，求 的值； （2） 若 ，求 的值. 16、如图，在四棱锥 中， 平面ABCD，四边形 是矩形， ，点 分别是线段 的中点。求证： （1） 平面 ； （2） 17、如图，在平面直角坐标系 中，椭圆 的左右焦点分别为 ，椭圆右顶点为 ，点 在圆 上。 （1） 求椭圆C的标准方程； （2） 点 在椭圆C上，且位于第四象限，点N在圆A上，且位于第一象限，已知 ，求直线 的斜率。 18、请你设计一个包装盒， 是边长为 的正方形纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰三角形，在沿虚线折起，使得 四个点重合于图2中的点P，正好形成一个正四棱锥形状的包装盒（图2所示），设正四棱锥P-EFGH的底面边长为 （cm）. (1) 若要求包装盒侧面积S不小于75 ，求 的取值范围； (2) 若要求包装盒容积 最大，试问 应取何值?并求出此时包装盒的容积。 19、已知函数 （1） 若曲线 在 处的切线的斜率为2，求函数 的单调区间； （2） 若函数 在区间（1，e）上有零点，求实数a的取值范围。 20、设 为正整数，若两个项数都不小于 的数列 ， 满足：存在正数L,当 时，都有 ，则称数列 ， 是“ 接近的”。 已知无穷数列 满足 ，无穷数列 的前n项和为 ，且 （1） 求数列 的通项公式； （2） 求证：对任意正整数m,数列 ， 是“ 接近的”； （3） 给定正整数m(m 5),数列 ， （其中 ）是“ 接近的”，求L的最小值，并求出此时的k(均用m表示)。（参考数据 ） 附加题 21-1．已知点 在矩阵 对应的变换作用下得到点（4,6）. （1）写出矩阵A的逆矩阵； （2）求a+b的值。 21-2.求圆心在极轴上，且过极点与点 的圆的极坐标方程。 22.批量较大的一批产