专题09 解析几何中的定值、定点和定线问题（讲）-2020年高考数学二轮复习讲练测（浙江）

专题09解析几何中的定值、定点和定线问题 1．（2019·全国高考真题（文））已知点A，B关于坐标原点O对称，│AB│ =4，⊙M过点A，B且与直线x+2=0相切． （1）若A在直线x+y=0上，求⊙M的半径． （2）是否存在定点P，使得当A运动时，│MA│－│MP│为定值？并说明理由． 2.（2019·全国高考真题（理））已知曲线C：y= ，D为直线y= 上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B. （1）证明：直线AB过定点： （2）若以E(0， )为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积. 3.（2017·全国高考真题（文））设O为坐标原点，动点M在椭圆C 上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足 . （1）求点P的轨迹方程； （2）设点 在直线 上，且 .证明：过点P且垂直于OQ的直线 过C的左焦点F. 4．（2008·安徽高考真题（理）） 设椭圆 过点 ，且着焦点为 （Ⅰ）求椭圆 的方程； （Ⅱ）当过点 的动直线 与椭圆 相交与两不同点 时，在线段 上取点 ，满足 ，证明：点 总在某定直线上. 5．（2019·北京高考真题（文））已知椭圆 的右焦点为 ，且经过点 . （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）设O为原点，直线 与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，若|OM|·|ON|=2，求证：直线l经过定点. 一、考向分析： 二、考向讲解 （一）解析几何中的定值问题 解析几何中的定值问题，主要是结合直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系的设计命题，要求证明、探索、计算线段长度（距离）或图形面积或参数等有关定值问题.从浙江省高考命题看，此类问题以主观题形式考查，多步设问，逐步深入考查分析问题解决问题的能力. 典例1.（2018·北京高考真题（理））已知抛物线C： =2px经过点 （1，2）．过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N． （Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围； （Ⅱ）设O为原点， ， ，求证： 为定值． 典例2.（2018·新疆高考模拟（文））已知椭圆 （ ）的焦距为2，离心率为 ，右顶点为 . （I）求该椭圆的方程； （II）过点 作直线 交椭圆于两个不同点 ，求证：直线 ， 的斜率之和为定值. （二）解析几何中的定点问题 解析几何中的定点问题，主要是结合直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系的设计命题，动直线（或曲线）恒过某一定点..从浙江省高考命题看，定点问题多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇，形成了过定点问题的证明、探求定点坐标等．题型为主观题，多步设问，逐步深入考查分析问题解决问题的能力. 典例3. （2019·北京高考真题（理））已知抛物线C：x2=−2py经过点（2，−1）． （Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程； （Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点． 典例4. （2018·广西高考模拟（理））设椭圆 ，右顶点是 ，离心率为 . （1）求椭圆 的方程； （2）若直线 与椭圆交于两点 ( 不同于点 )，若 ，求证:直线 过定点，并求出定点坐标. （三）解析几何中的定线问题 定线问题是证明动点在 定直线上，其实质是求动点的轨迹方程，所以所用的方法即为 求轨迹方程的方法，如定义法、消参法、交轨法等． 典例5. （2009·宁夏高考真题（理））设已知抛物线 的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线 与抛物线 相交于A，B两点.若AB的中点为（2，2），则直线 的方程为_____________. 典例6. 如图，已知椭圆的左右焦点为，其上顶点为，已知是边长为2的正三角形 （1）求椭圆的方程 （2）过点任作一动直线交椭圆于两点，记，若在线段上取一点使得，试判断当直线运动时，点是否在某一定直线上运动？若在，请求出该定直线；若不在请说明理由 讲方法 一 定值问题常见处理方法 1.从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． 2.直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 典例7. （2019·江西高考模拟（理））已知椭圆 ， ，左、右焦点为 ，点 在椭圆 上，且点 关于原点对称，直线 的斜率的乘积为 . （1）求椭圆 的方程； （2）已知直线 经过点 ，且与椭圆 交于不同的两点 ，若 ，判断直线 的斜率是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由. 典例8. （2015·全国高考真题（理））（本题满分12分）已知椭圆,直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段的中点为． （Ⅰ）证明：直线的斜率与的斜率的乘