专题10 解析几何中的范围、最值和探索性问题（讲）-2020年高考数学二轮复习讲练测（浙江）

专题10解析几何中的范围、最值和探索性问题 1．（2017·全国高考真题（理））已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（ ） A．16 B．14 C．12 D．10 2. （2016·全国高考真题（理））已知椭圆E:的焦点在轴上，A是E的左顶点，斜率为k （k > 0）的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA． （Ⅰ）当t=4，时，求△AMN的面积； （Ⅱ）当时，求k的取值范围. 3.（2019·全国高考真题（文））已知是椭圆的两个焦点，P为C上一点，O为坐标原点． （1）若为等边三角形，求C的离心率； （2)如果存在点P，使得，且的面积等于16，求b的值和a的取值范围. 4．（2019·浙江高考真题）如图，已知点为抛物线，点为焦点，过点的直线交抛物线于两点，点在抛物线上，使得的重心在轴上，直线交轴于点，且在点右侧.记的面积为. （1）求的值及抛物线的准线方程； （2）求的最小值及此时点的坐标. 5．（2018·上海高考真题）设常数．在平面直角坐标系中，已知点，直线：，曲线：．与轴交于点、与交于点．、分别是曲线与线段上的动点． （1）用表示点到点距离； （2）设，，线段的中点在直线，求的面积； （3）设，是否存在以、为邻边的矩形，使得点在上？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由． 一、考向分析： 二、考向讲解 （一）解析几何中的最值问题 解析几何中的最值问题，主要是结合直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系的设计命题，要求证明、探索、计算线段长度（距离）或图形面积或参数等有关最值问题.从浙江省高考命题看，此类问题以主观题形式考查，多步设问，逐步深入考查分析问题解决问题的能力. 典例1. （2013·全国高考真题（理））平面直角坐标系中，过椭圆：（）右焦点的直线交于，两点，为的中点，且的斜率为. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ），为上的两点，若四边形的对角线，求四边形面积的最大值. 典例2. （2018·河北衡水中学高考模拟（理））已知双曲线的焦点是椭圆：的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数. （1）求椭圆的方程； （2）设动点，在椭圆上，且，记直线在轴上的截距为，求的最大值. （二）解析几何中的范围问题 解析几何中的范围问题，主要是结合直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系的设计命题，要求证明、探索、计算线段长度（距离）或图形面积或参数等有关范围问题.从浙江省高考命题看，此类问题以主观题形式考查，多步设问，逐步深入考查分析问题解决问题的能力. 典例3.（2017·浙江高考真题）如图，已知抛物线.点A，抛物线上的点P（x,y）,过点B作直线AP的垂线，垂足为Q （I）求直线AP斜率的取值范围； （II）求的最大值. 典例4. （2019·全国高考真题（文））已知是椭圆的两个焦点，P为C上一点，O为坐标原点． （1）若为等边三角形，求C的离心率； （2)如果存在点P，使得，且的面积等于16，求b的值和a的取值范围. （三）解析几何中的探索性问题 探究性问题常常是条件不完备的情况下探讨某些结论能否成立，探索性问题主要考查学生探索解题途径，解决非传统完备问题的能力，是命题者根据学科特点，将数学知识有机结合并赋予新的情境创设而成的，要求学生自己观察、分析、创造性地运用所学知识和方法解决问题，它能很好地考查数学思维能力以及科学的探索精神. 典例5. （2018·天津高考真题（文））设椭圆的右顶点为A，上顶点为B．已知椭圆的离心率为，． （1）求椭圆的方程； （2）设直线与椭圆交于，两点，与直线交于点M，且点P，M均在第四象限．若的面积是面积的2倍，求的值． 典例6. （2019·河北高考模拟（文））已知椭圆（）的离心率为，且经过点. （1）求椭圆的方程； （2）过点作直线与椭圆交于不同的两点，，试问在轴上是否存在定点使得直线与直线恰关于轴对称？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 讲方法 一 最值问题常见处理方法 圆锥曲线最值问题的求解方法 圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解. 典例7. （2019·全国高考真题（理）） 已知点A(−2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为−.记M的轨迹为曲线C. （1）求C的方程，并说明C是什么曲线； （2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交