专题07 数列（讲）-2020年高考数学二轮复习讲练测（文理通用）

专题07 数列（讲） 1．【2019年高考全国I卷理数】记为等差数列的前n项和．已知，则（ ） A． B． C． D． 2．【2019年高考浙江卷】设a，b∈R，数列{an}满足a1=a，an+1=an2+b，，则（ ） A． 当 B． 当 C． 当 D． 当 3．【2019年高考北京卷理数】设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2=−3，S5=−10，则a5=__________，Sn的最小值为__________． 4．【2019年高考江苏卷】已知数列是等差数列，是其前n项和.若，则的值是_____. 一、考向分析： 二、考向讲解 考查内容 解 题 技 巧 通项公式 1、用观察法求数列的通项公式的两个技巧 (1)根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求． (2)对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整． 2、已知Sn求an的三个步骤 (1)先利用a1＝S1求出a1； (2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式； (3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写． 3、由递推关系式求通项公式的常用方法 （1）已知a1且an－an－1＝f(n)(n≥2，n∈N*)，可用“累加法”求an。 （2）已知a1且＝f(n)(n≥2，n∈N*)，可用“累乘法”求an。 （3）已知a1且an＋1＝qan＋b，则an＋1＋k＝q(an＋k)(其中k可由待定系数法确定)，可转化为等比数列{an＋k}。 另外：1.形如an＋1＝(A，B，C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解。 （4）形如an＋1＋an＝f(n)的数列，可将原递推关系改写成an＋2＋an＋1＝f(n＋1)，两式相减即得an＋2－an＝f(n＋1)－f(n)，然后按奇偶分类讨论即可。 等差数列 1、等差数列运算问题的通性通法 （1）等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解。 （2）等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题。 2、等差数列的四种判断方法 (1)定义法：an＋1－an＝d(d是常数)⇔{an}是等差数列。 (2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列。 (3)通项公式：an＝pn＋q(p，q为常数)⇔{an}是等差数列。 (4)前n项和公式：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔{an}是等差数列。 3、等差数列的性质 （1）项的性质：在等差数列{an}中，am－an＝(m－n)d⇔＝d(m≠n)，其几何意义是点(n，an)，(m，am)所在直线的斜率等于等差数列的公差。 (2)和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则 ①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；②S2n－1＝(2n－1)an。 4、求等差数列前n项和Sn最值的两种方法 (1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解。 (2)邻项变号法： ①当a1>0，d<0时，满足的项数m使得Sn取得最大值Sm。 ②当a1<0，d>0时，满足的项数m使得Sn取得最小值Sm。 等比数列 1、解决等比数列有关问题的常用思想方法 (1)方程的思想：等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和q，问题可迎刃而解． (2)分类讨论的思想：在使用等比数列的前n项和公式时，应根据公比的取值情况进行分类讨论，此外在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算。 2、证明等比数列的用方法：证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可。 数列求和 1、分组转化法求和的常见类型 （1）若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an}的前n项和。 （2）通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和。 2、错位相减法求和时两个注意点 (1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形； (2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下