江苏省南通、泰州市2020届高三第一次调研测试数学试题含附加题

数学参考答案与评分细则 第 1页（共 16页） 南通市 2020届高三第一次调研测试 数学学科参考答案及评分建议 一、填空题：本大题共 14小题，每小题 5分，共计 70分． 1． 已知集合 ， ，则 ▲ . 【答案】 2． 已知复数 满足 ，其中 是虚数单位，则 的模为 ▲ . 【答案】 3． 某校高三数学组有 5名党员教师，他们一天中在“学习强国”平台上的学习积分依次为 ，则这 5名党员教师学习积分的平均值为 ▲ . 【答案】40 4． 根据如图所示的伪代码，输出的 a的值为 ▲ ． 【答案】11 5． 已知等差数列 的公差 不为 0，且 成等比数列， 则 的值为 ▲ ． 【答案】1 6． 将一枚质地均匀的硬币先后抛掷 3次，则恰好出现 2次正面向上的概率为 ▲ . 【答案】 7． 在正三棱柱 中， ，则三棱锥 的体积为 ▲ . 【答案】 8． 已知函数 ．若当 时，函数 取得最大值，则 的最小值 为 ▲ . 【答案】5 9． 已知函数 是奇函数．若对于任意的 ，关于 的不等 式 恒成立，则实数 的取值范围是 ▲ ． a←1 i←1 While i≤4 a←a+i i←i+1 End While Print a （第 4题） 数学参考答案与评分细则 第 2页（共 16页） 【答案】 10．在平面直角坐标系 中，已知点 A，B分别在双曲线 的两条渐近线上，且 双曲线 经过线段 AB的中点．若点 的横坐标为 2，则点 的横坐标为 ▲ ． 【答案】 11．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如， 地震时释放出的能量 E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为 ． 2008年 5月汶川发生里氏 8.0级地震，它释放出来的能量是 2019年 6月四川长宁发生 里氏 6.0级地震释放出来能量的 ▲ 倍． 【答案】1000 12．已知△ABC的面积为 3，且 ．若 ，则 的最小值为 ▲ ． 【答案】 13．在平面直角坐标系 中，已知圆 与圆 相交于 A，B两点．若圆 上存在点 ，使得△ABP为等腰直角三角形，则实数 的值组成 的集合为 ▲ . 【答案】 14．已知函数 若关于 的方程 有五个不相等 的实数根，则实数 的取值范围是 ▲ . 【答案】 二、解答题：本大题共 6小题，共计 90分． 15．（本小题满分 14分） 如图，在三棱锥 中， 平面 ， ， 分别为 的中点． （第 15题） 数学参考答案与评分细则 第 3页（共 16页） 求证：（1）AB∥平面 ； （2）平面 平面 ． 【证】（1）在 中，因为 分别为 的中点， 所以 AB∥DE． …… 3分 又因为 平面 ， 平面 ， 所以 AB∥平面 ． …… 6分 （2）因为 平面 ， 平面 ， 所以 ． …… 8分 又因为 ， 平面 ， ， 所以 平面 ． …… 11分 因为 平面 ， 所以平面 平面 ． …… 14分 16．（本小题满分 14分） 在△ABC中，已知 ， ， ． （1）求 的值； （2）求 的值． 【解】（1）在△ABC中，因为 ， ， 由 ， 得 ． …… 2分 又 ， ， 由正弦定理，得 ， …… 4分 所以 ． …… 6分 （2）（方法一）由余弦定理，得 ， …… 8分 数学参考答案与评分细则 第 4页（共 16页） 即 ， 解得 或 （舍去）． …… 11分 所以 ． …… 14分 （方法二）在△ABC中，由条件得 ， 所以 ，所以 ． 所以 ． …… 8分 所以 ． …… 10分 由正弦定理，得 ， 所以 ． …… 12分 所以 ． …… 14分 17．（本小题满分 14分） 如图，在平面直角坐标系 中，椭圆 的焦距为 ，两条准线间的 距离为 ， 分别为椭圆 的左、右顶点． （1）求椭圆 的标准方程； （2）已知图中四边形 是矩形，且 ，点 分别在边 上， 与 相交于第一象限内的点 ． ① 若 分别是 的中点，证明：点 在椭圆 上； ② 若点 在椭圆 上，证明： 为定值，并求出该定值． 【解】（1）设椭圆 的焦距为 ， 数学参考答案与评分细则 第 5页（共 16页） 则由题意，得 解得 所以 ． 所以椭圆 的标准方程为 ． …… 3分 （2）①由已知，得 ， ， ， ． 直线 的方程为 ，直线 的方程为 ． 联立 解得 即 ． …… 6分 因为 ， 所以点 在椭圆 上． …… 8分 ②（解法一）设 ， ， 则 ， ． 直线 的方程为 ， 令 ，得 ． …… 10分 直线 的方程为 ， 令 ，得 ． …… 12分 所以 ． …… 14分 数学参考答案与评分细则 第 6页（共 16页） （第 18题） O （解法二）设直线 的方程为 ， 令 ，得 ． 设直线 的方程为 ， 令 ，得 ． …… 10分 而 ． ……