解密18 圆与方程-备战2020年高考数学（理）之高频考点解密

解密18 圆与方程 高考考点 命题分析 三年高考探源 考查频率 圆的方程 从近三年高考情况来看，圆的标准方程的求法是命题的热点，求解时，常利用配方法把圆的一般方程转化为标准方程，并指出圆心坐标及半径；直线与圆的位置关系常结合其他知识点进行综合考查，求解时重点应用圆的几何性质，一般为选择题、填空题，难度中等，解题时应认真体会数形结合思想，培养充分利用圆的简单几何性质简化运算的能力． 2018新课标全国Ⅰ22 2017新课标全国Ⅱ9 2017新课标全国Ⅲ10，12，20 2016新课标全国Ⅰ10，20 2016新课标全国Ⅱ4 ★★★★★ 直线与圆、圆与圆的位置关系 2019新课标全国Ⅱ11 2019新课标全国Ⅲ21 2018新课标全国Ⅱ19 2018新课标全国Ⅲ6 2017新课标全国Ⅰ15 2017新课标全国Ⅱ9 2017新课标全国Ⅲ10，12，20 ★★★★★ 考点1 圆的方程 题组一 直接求圆的方程 调研1 一个圆经过以下三个点，，，且圆心在轴上，则圆的标准方程为 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设圆心坐标为，半径为，则圆的方程为， 将，，三点代入，得， 解得，． ∴圆的标准方程为． 故选D． 【名师点睛】本题主要考查圆的标准方程，重点找出圆心及半径是关键，难度不大.根据题意设出圆心，利用圆心到三点的距离相等建立等式，从而求得标准方程. 题组二 利用圆的几何性质求圆的方程 调研2 与直线和圆都相切的半径最小的圆的方程是 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】圆的圆心坐标为，半径为， 过圆心与直线垂直的直线方程为，所求圆的圆心在此直线上， 又圆心到直线的距离为， 则所求圆的半径为， 设所求圆的圆心为，且圆心在直线的左上方， 则，且，解得（不符合题意，舍去 ）， 故所求圆的方程为． 故选C． 调研3 在平面直角坐标系xOy中，过点A(1，3)，B(4，6)，且圆心在直线上的圆的标准方程为________________． 【答案】 【解析】根据题意，圆经过点，则圆心在线段AB的垂直平分线上， 又由点，则线段AB的垂直平分线方程为， 则有，解得，即圆心为， 圆的半径， 故圆的方程为． ☆技巧点拨☆ 求圆的方程的两种方法 1．几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程． 2．代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．附： （1）圆的标准方程：当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2=r2，特别地，当圆心在原点时，方程为x2＋y2=r2． （2）圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0，其中D2＋E2－4F＞0，表示以为圆心，为半径的圆． 考点2 直线与圆的位置关系 题组一 与圆有关的对称问题 调研1 若圆C：，关于直线对称，则由点向圆所作的切线长的最小值为______． 【答案】4 【解析】因为圆=关于直线=对称，所以圆心在直线=上，所以，即， 又圆的半径为， 当点(a,b)与圆心的距离最小时，切线长取得最小值， 又点(a,b)与圆心的距离为=， 所以切线长的最小值为=. 故答案为4. ☆技巧点拨☆ 1．圆的轴对称性:圆关于直径所在的直线对称． 2．圆关于点对称： （1）求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置; （2）两圆关于点对称，则此点为两圆圆心连线的中点． 3．圆关于直线对称： （1）求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置; （2）两圆关于直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线． 题组二 直线与圆、圆与圆的位置关系 调研2 圆的公切线的条数为 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【解析】∴|C1C2|＞r1+r2， 所以圆C1与圆C2相离，有4条公切线． 故选A． 调研3 直线被圆所截的弦长为 A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【解析】直线方程可化为，圆心到直线的距离为， 由垂径定理可得半弦长为， 所以截直线所得弦长为， 故选D． 调研4 两圆和相交于两点，则线段的长为 A．4 B． C． D． 【答案】C 【解析】∵两圆为x2+y2+4x﹣4y=0 ①，x2+y2+2x﹣8=0 ②，①﹣②可得x﹣2y+4=0， ∴两圆的公共弦所在直线的方程是x﹣2y+4=0， ∵x2+y2+4x﹣4y=0的圆心坐标为（﹣2，2），半径为2， ∴圆心到公共弦的距离为d=， ∴公共弦长=． 故选C． 调研5 已知直线l：与圆C：相交于P，Q两点，则＝_______． 【答案】0 【解析】根据题意，圆C：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1，圆心为（2，1），半径r＝1， 圆心C到直线l的距离d， 则|PQ|＝2