专题一：勾股定理初步——赵爽弦图及羊角图（勾股树）-2019-2020学年八年级下册初二数学专题点化提高训练

专题一：勾股定理初步————赵爽弦图及羊角图（勾股数） 导图：利用图1或图2两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为勾股定理，该定理结论的数学表达式是a2＋b2＝c2. 勾股定理： 直角三角形 等于 ； 几何语言表述：如图1.1-1，在RtΔABC中，C＝ 90°， 则： ； 若BC=a，AC=b，AB=c，则上面的定理可以表示为： . 知识点晴：掌握勾股定理，会用合适的方法验证勾股定理；能利用勾股定理求直角三角形的边长；理解勾股定理的逆定理，并会应用其判断直角三角形；利用勾股定理解决与直角三角形有关的实际问题. 类型一：与赵爽弦图有关的题型练习 例1.如图，是2002年8月北京第24届国际数学家大会会标，由4个全等的直角三角形拼合而成．如果图中大、小正方形的面积分别为52和4，那么一个直角三角形的两直角边的和等于　 . 【分析】设图中的直角三角形的直角边分别是x，y，根据勾股定理求出大正方形的面积和小正方形的面积，列出方程组，解方程组即可求出两直角边的长及它们的和．[来源:学科网] 变式练习：如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边(x>y)，下列四个说法：①x2＋y2＝49；②x－y＝2；③2xy＋4＝49；④x＋y＝9.其中说法正确的是(　　) . A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 类型二：与勾股树（羊角图）有关的类型题 例2．下图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积是 （ ）． A．13 B．26 C．47 D．94 【分析】根据正方形的面积公式，结合勾股定理，能够导出正方形A，B，C，D的面积和即为最大正方形的面积． 变式练习.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中SA=10，SB=8，SC=9，SD=4，则S=（　　）. A．25 B．31 C．32 D．40 类型一强化练习 1．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝5，BE＝12，则EF的长是（　　）． A．7 B．8 C．7 D．7 2．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（　 ． A．9 B．6 C．4 D．3 3．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间阴影部分是一个小正方形EFGH，这样就组成一个“赵爽弦图”．若AB＝5，AE＝4，则正方形EFGH的面积为　 　． 4．中国古代的数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位．尤其是三国时期的数学家赵爽，不仅最早对勾股定理进行了证明，而且创制了“勾股圆方图”，开创了“以形证数”的思想方法．在图1中，小正方形ABCD的面积为1，如果把它的各边分别延长一倍得到正方形A1B1C1D1，则正方形A1B1C1D1的面积为________；再把正方形A1B1C1D1的各边分别延长一倍得到正方形A2B2C2D2(如图2)，如此进行下去，得到的正方形AnBnCnDn的面积为________(用含n的式子表示，n为正整数)． 5．图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．在Rt△ABC中，若直角边AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长(图2中的实线)是 . 6． 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3=10，则S2的值是多少？ 类型二强化练习 1．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AB＝15cm，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积之和为(　　) ． A