专题三：利用勾股与全等（构图）来证明线段之间的和差关系（a±b= c类型）-2019-2020学年八年级下册初二数学专题点化提高训练 (2份打包)

专题三：利用勾股与全等（构图）来证明线段之间的和差关系（a±b=c类型） 我们知道初中三条线段a，b，c结合勾股定理，往往会出现a±b=c（其中k=2，3）类型的问题，这类问题处理的关键在于对系数进行相应的转化，所涉及到的知识有全等三角形的证明、勾股定理以及旋转作图等 方法：截长补短法，在图形中通过相应的转化 系数转化及联系： （1）含30°的直角三角形，三边之比 （2）含45°的直角三角形，三边之比 数学思想 ：转化思想 知识应用：当题目中出现等线段共端点的时候考虑补全旋转结构，从而进行条件的转化． 图态关联： 说明：在题中找中相应线段之间的量及关联性，依据全等进行相应线段的替换是处理问题的关键 类型一：倍系数的转化和应用[来源:学+科+网] 例1. 已知E是线段AC上一点，AE=AB，过点E作直线EF，在EF上取一点D，使得∠EDB=∠EAB，连接AD. （1）若直线EF与线段AB相交于点P，当∠EAB=60°时，如图1，求证：ED =AD+BD； （2）若直线EF与线段AB不相交，当∠EAB=90°时，如图2，请你补全图形，写出线段ED，AD，BD之间的数量关系，并证明你的结论. 图1 图2 【分析】（1）作∠DAH=∠EAB交DE于点H，得到∠DAB=∠HAE，再根据三角形的内角的和定理求出∠ABD=∠AEH，然后利用“角边角”证明△ABD和△AEH全等，根据全等三角形对应边相等可得BD=EH，AD=AH，再利用∠EAB=60°判断出△ADH是等边三角形，根据等边三角形的性质可得AD=HD，然后根据ED=HD+EH等量代换即可得证； （2）作∠DAH=∠EAB交DE于点H，得到∠DAB=∠HAE，再根据三角形的内角和定理求出∠ABD=∠AEH，然后利用“角边角”证明△ABD和△AEH全等，根据全等三角形对应边相等可得BD=EH，AD=AH，然后求出△ADH是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AD=HD，再根据ED=EH-HD等量代换即可得证． 类型二：倍系数的转化和应用 例2、课外兴趣小组活动时，许老师出示了如下问题： 如图1，己知四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠DAB=60°，∠B与∠D互补，求证：AB+AD=AC．小敏反复探索，不得其解．她想，若将四边形ABCD特殊化，看如何解决该问题． （1）特殊情况入手添加条件：“∠B=∠D”，如图2，可证AB+AD=AC；（请你完成此证明） （2）解决原来问题受到（1）的启发，在原问题中，添加辅助线：如图3，过C点分别作AB、AD的垂线，垂足分别为E，F．（请你补全证明） 【分析】（1）如果：“∠B=∠D”，根据∠B与∠D互补，那么∠B=∠D=90°，又因为∠DAC=∠BAC=30°，因此我们可在直角三角形ADC和ABC中得出AD=AB=AC，那么AD+AB=AC． （2）按（1）的思路，作好辅助线后，我们只要证明三角形CFD和BCD全等即可得到（1）的条件．根据AAS可证两三角形全等，DF=BE．然后按照（1）的解法进行计算即可． 强化练习 1．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D在射线BC延长线上，过点B作BE⊥AD，垂足为点E，交直线AC于点P．连接EC，试探究线段AE，BE，CE之间满足的等量关系． 2.如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为BC的中点，点E，F分别在直线AB，AC上运动，且始终保持DE⊥DF． （1）求证：AE+AF= DC； （2）如图②，若点E，F分别在线段AB，CA的延长线上，直接写出EF，ED，DF之间的数量关系． 3.已知AC=DC，AC⊥DC，直线MN经过点A，作DB⊥MN，垂足为B，连接CB. （1）直接写出∠D与∠MAC之间的数量关系; （2）① 如图1，猜想AB，BD与BC之间的数量关系，并说明理由； ② 如图2，直接写出AB，BD与BC之间的数量关系； （3）在MN绕点A旋转的过程中，当∠BCD=30°，BD=时，直接写出BC的值.[来源:学+科+网Z+X+X+K] 4．在△中，，．作射线，过点作⊥于点，连接． （1）当射线位于图1所示的位置时 ①根据题意补全图形； ②求证：． （2）当射线绕点由图1的位置顺时针旋转至的内部，如图2，直接写出此时，，三条线段之间的数量关系为 ． [来源:学科网] 5.如图1，在等边三角形ABC中，CD为中线，点Q在线段CD上运动，将线段QA绕点Q顺时针旋转，使得点A的对应点E落在射线BC上，连接BQ，设∠DAQ=α（0°＜α＜60°且α≠30°）． （1）当0°＜α＜30°时， ①在图1中依题意画出图形，并求∠B