精品解析：百校联盟（全国I卷）2019-2020学年高三上学期12月教育教学质量监测考试数学（理）试题

2020届普通高中教育教学质量监测考试 全国Ⅰ卷 理科数学 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 记等比数列前n项和为，若,，则（ ） A. 或 B. 或 C. D. 4. 设向量m，n满足，现有如下命题：命题的值可能为9；命题“”的充要条件为“”；则下列命题中，真命题为（ ） A. p B. C. D. 5. 记抛物线的焦点为F，点M在抛物线上，若，且，则抛物线C的准线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 函数在上的图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. 元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗“我有一壶酒携着游春走，遇店添一倍，开始逢友饮一斗，”基于此情境，设计了如图所示的程序框图，若入的的值为，输出的值为9则判断框中可以填（ ） A. B. C. D. 8. 2019年10月，德国爆发出“芳香烃门”事件，即一家权威的检测机构在德国销售的奶粉中随机抽检了16款(德国4款，法国8款，荷兰4款)，其中8款检测出芳香烃矿物油成分，此成分会严重危害婴幼儿的成长，有些奶粉已经远销至中国．A地区闻讯后，立即组织相关检测员对这8款品牌的奶粉进行抽检，已知该地区有6家婴幼儿用品商店在售这几种品牌的奶粉，甲、乙、丙3名检测员分别负责进行检测，每人至少抽检1家商店，且检测过的商店不重复检测，则甲检测员检测2家商店的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 已知正方体中，点是线段的中点，点是线段上靠近的三等分点，则直线，所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数的图象关于原点对称，且满足，且当时，，若，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过引直线l交双曲线C的渐近线于y轴右侧P，Q两点，其中，记的内心为M．若点M到直线PQ的距离为，则双曲线C的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 12. 已知函数，其中，若在上恒成立，则 的最大值为（ ） A. B. 0 C. D. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13. 曲线在点处的切线方程为__________. 14. 已知实数，满足，则的最大值为____________. 15. 记等差数列的前n项和为，若，，则的前n项和______． 16. 已知三棱锥P-ABC中，是面积为的等边三角形，，则当点C到平面PAB的距离最大时，三棱锥P-ABC外接球的表面积为_______． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求A的大小； （2）若，求面积的最大值以及周长的最大值． 18. 如图所示，在四棱锥S-ABCD中，四边形ABCD是菱形，，，点P，Q，M分别是线段SD，PD，AP的中点，点N是线段SB上靠近B的四等分点． （1）若R在直线MQ上，求证：平面ABCD； （2）若平面ABCD，求平面SAD与平面SBC所成的锐二面角的余弦值． 19. 为了响应国家号召，某校组织部分学生参与了“垃圾分类，从我做起”的知识问卷作答，并将学生的作答结果分为“合格”与“不合格”两类与“问卷的结果”有关？ 不合格 合格 男生 14 16 女生 10 20 （1）是否有90%以上的把握认为“性别”与“问卷的结果”有关？ （2）在成绩合格的学生中，利用性别进行分层抽样，共选取9人进行座谈，再从这9人中随机抽取5人发送奖品，记拿到奖品的男生人数为X，求X的分布列及数学期望． 附： 0．100 0．050 0．010 0．001 2．703 3．841 6．635 10．828 20. 已知椭圆上、下焦点分别为，，离心率为，点 在椭圆C上，延长交椭圆于N点． （1）求椭圆C的方程； （2）P，Q为椭圆上的点，记线段MN，PQ的中点分别为A，B（A，B异于原点O），且直线AB过原点O，求面积的最大值． 21. 已知函数，． （1）若，求函数的最值； （2）讨论函数的零点个数． 请考生从第22．23题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分． 22. 在平面直角坐标系中，直线参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，且直线与曲线交于，两点