专题03 平面向量的模与夹角（讲）-2020年高考数学二轮复习讲练测（浙江）

专题03 平面向量的模与夹角 1.（2008·浙江高考真题（理））已知 ， 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 满足 ，则 的最大值是( ) A．1 B．2 C． D． 2．（2016·四川高考真题（理））在平面内，定点A，B，C，D满足==, = = =–2，动点P，M满足=1，=，则的最大值是（ ） A． B． C． D． 3．（2018·浙江高考真题）已知 、 、 是平面向量， 是单位向量．若非零向量 与 的夹角为 ，向量 满足 ，则 的最小值是（ ） A． B． C．2 D． 4．（2017·浙江高考真题）已知向量 满足 ，则 的最小值是___________，最大值是______。 5．（2019·浙江高考真题）已知正方形 的边长为1，当每个 取遍 时， 的最小值是________；最大值是_______. 一、考向分析： 二、考向讲解 （一）平面向量的数量积问题 平面向量的数量积问题，主要考向有：1.平面向量的计算；2.平面向量的夹角；3.平面向量的模；4.平面向量垂直的充要条件. 典例1. （2018·天津高考真题（理））如图，在平面四边形ABCD中， 若点E为边CD上的动点，则 的最小值为 （ ） A． B． C． D． 典例2. （2019·全国高考真题（理））已知 为单位向量，且 =0，若 ，则 ___________. （二）平面向量的应用 平面向量的应用考向主要是平面几何问题，往往涉及角和距离，转化成平面向量的夹角、模的问题，总的思路有： (1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决． (2)基向量法：适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解． 典例3.（2019·江苏高考真题）如图，在 中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点 .若 ，则 的值是_____. 典例4. （2018·江苏省连云港市锦屏高级中学高一期中）如图所示，在平行四边形 中， ， ， 是边 的中点， ，若 ，则 _______． （三）平面向量与其它知识的交汇问题 平面向量与其它知识的交汇问题，主要考向有：1.与平面解析几何交汇；2.与三角函数、三角形交汇. 典例5. （2018·上海高考真题）已知实数 、 、 、 满足： ， ， ，则 的最大值为______． 典例6. （2017·江苏高考真题）在同一个平面内，向量 的模分别为 与 的夹角为 ，且 与 的夹角为 ，若 ，则 _________． 题型一 与平面向量的模有关的综合问题 (1)向量的三角形法则要保证各向量“首尾相接”；平行四边形法则要保证两向量“共起点”，结合几何法、代数法(坐标)求解． (2)灵活应用向量运算的规律和平面基本定理． (3)向量的模的求法一是根据向量的定义，二是将向量的模转化为三角形的某个边求其长． (4)求向量模的常用方法 ①若向量a是以坐标形式出现的，求向量a的模可直接利用公式|a|＝. ②若向量a，b是以非坐标形式出现的，求向量a的模可应用公式|a|2＝a2＝a·a，或|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解． (5)求向量模的最值(范围)的方法 ①代数法：把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解． ②几何法(数形结合法)：弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解． 典例7.（2013·湖南高考真题（理））已知 是单位向量， .若向量 满足 （ ） A． B． C． D． 典例8.（2019·安徽高三月考（理））若平面向量 满足 ， ， ，且 ，则 的最大值为（ ） A． B． C． D． 题型二 与平面向量夹角有关的问题 (1)向量的夹角要求向量“共起点”，其范围为[0，π]． (2)求非零向量a，b的夹角一般利用公式cos〈a，b〉＝先求出夹角的余弦值，然后求夹角．也可以构造三角形，将所求夹角转化为三角形的内角求解，更为直观形象． (3)平面向量中有关范围最值问题的求解通常有两种思路： ①“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断； ②“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决． 典例9. （2019年一轮复习讲练测）在中,的面积,则与夹角的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 典例10. 非零向量满足=，，则的夹角的最小值是