专题2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义重难点题型（举一反三）-2019-2020学年高一数学必修四举一反三系列（新课标人教A版）

专题2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义重难点题型【举一反三系列】 【知识点1 平面向量的数量积】 1. 平面向量数量积(内积)的定义 已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量叫与的数量积，记作，即有.并规定与任何向量的数量积为0. 2.一向量在另一向量方向上的投影：叫做向量在方向上的投影. 注： 1. 两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 (1)两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由的符号所决定. (2)两个向量的数量积称为内积，写成；今后要学到两个向量的外积，而是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替. (3)在实数中，若，且，则；但是在数量积中，若，且，不能推出.因为其中有可能为0. 2. 投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当=0时投影为；当=180时投影为. 【知识点2 平面向量数量积的几何意义】 数量积表示的长度与在方向上的投影的乘积，这是的几何意义．图（1）（2）（3）所示分别是两向量夹角为锐角、钝角、直角时向量在向量方向上的投影的情形，其中，它的意义是，向量在向量方向上的投影是向量的数量，即． 事实上，当为锐角时，由于，所以；当为钝角时，由于，所以；当时，由于，所以，此时与重合；当时，由于，所以；当时，由于，所以． 【知识点3 平面向量数量积的性质】 设与为两个非零向量，是与同向的单位向量. 1. 2. 3.当与同向时，；当与反向时，. 特别的或 4. 5. 【知识点4 向量数量积的运算律】 1.交换律： 2.数乘结合律： 3.分配律： 【考点1 平面向量数量积的几何意义】 【例1】（2019秋•碑林区校级月考）已知向量，的夹角为，，，则在方向上的投影是　　． 【变式1-1】（2019秋•湖北月考）已知为单位向量且夹角为，设，则在方向上的投影为　　． 【变式1-2】（2019•南关区校级四模）已知向量满足，在方向上的投影是，则　 　． 【变式1-3】（2019•潍坊校级模拟）已知向量，的夹角为，且，，则向量在向量方向上的投影是　 　． 【考点2 平面向量求数量积】 【例2】（2019秋•新华区校级月考）设是边长为2的正三角形，是的中点，是的中点，则的值为　　． 【变式2-1】（2018秋•太原期末）空间四点，，，满足，，，，则　　． 【变式2-2】（2019秋•南京期中）如图，已知四边形为平行四边形，，，是边上一点，且，若，则　　． 【变式2-3】（2019秋•广陵区校级月考）在四边形中，，，，与相交于点，是的中点，，则　　． 【考点3 求向量的模】 【例3】（2019春•香坊区校级期末）向量，满足：，与的夹角为，则　　； 【变式3-1】（2019秋•中原区校级月考）已知向量，满足，向量在向量方向上的投影为1，则　　 【变式3-2】（2019春•台州期中）已知平面向量满足，且，则　　． 【变式3-3】（2019春•赫山区校级月考）设向量满足及，则的值为　　． 【考点4 求向量的夹角】 【例4】（2019春•水富县校级期中）已知向量满足且，则向量的夹角为　　． 【变式4-1】（2019春•开福区校级期中）若两个非零向量满足，则向量与的夹角为　　． 【变式4-2】（2019秋•中原区校级月考）已知，是单位向量，且，若，则与夹角的正弦值是　　． 【变式4-3】（2019春•宜春月考）已知向量，满足，且，则向量与夹角的大小为　　． 【考点5 求向量数量积的最值】 【例5】（2019•淄博三模）如图，已知等腰梯形中，，是的中点，是线段上的动点，则的最小值是　　 A．1 B．0 C． D． 【变式5-1】（2019•郑州二模）在中，，，，在边的中线上，则的最小值为　　 A． B．0 C．4 D． 【变式5-2】（2019春•昌江区校级期中）已知圆的半径为2，，是圆上任意两点，且，是圆的一条直径，若点满足，则的最小值为　　 A． B． C． D． 【变式5-3】（2019秋•北碚区校级月考）已知平面四边形的两条对角线互相垂直，，，点在四边形上运动，则的最小值为　　 A． B． C． D．3 【考点6 求向量模的最值】 【例6】（2019秋•香坊区校级月考）已知向量满足，，与的夹角为，若，则的最大值是　　 A． B． C． D． 【变式6-1】（2019秋•安徽月考）若平面向量满足，，且，则的最大值为　　 A． B． C． D． 【变式6-2】（2019•西湖区校级模拟）平面向量，满足，，，则最大值是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式6-3】（2019春•莲都区校级月考）已知平面向量，，满足：，，则的最小值为　　 A． B．2 C． D． 【考点7 向量