专题02 导数的综合应用问题（讲）-2020年高考数学二轮复习讲练测（浙江）

专题02 导数的综合应用问题 1. （2018·全国高考真题（文））函数 的图像大致为 (　　) A． B． C． D． 2．（2018·浙江高考真题）已知 成等比数列，且 ．若 ，则（ ） A． B． C． D． 3．（2019·浙江高考真题）已知，函数，若函数恰有三个零点，则（ ） A． B． C． D． 4. （2010·北京高考真题（文））设定函数 ，且方程 的两个根分别为1，4. （Ⅰ）当a=3且曲线 过原点时，求 的解析式； （Ⅱ）若 在 无极值点，求a的取值范围. 5. （2011·江苏高考真题）请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=xcm2 （1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm）最大，试问x应取何值？ （2）若广告商要求包装盒容积V（cm）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值. 一、考向分析： 二、考向讲解 （一）函数的单调性问题 利用导数研究函数的单调性问题，主要考向有：1.讨论、判断函数的单调性；2.求函数单调区间；3.比较函数值的大小、解不等式、证明不等式；4.由函数的单调性求参数值（取值范围）；5.研究函数的图象. 典例1. （2019·天津高考真题（理））已知 ，设函数 若关于 的不等式 在 上恒成立，则 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 典例2. (2019·广东省中山一中等七校联考)已知函数 . (1)求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程； (2)求函数f(x)的单调区间． （二）函数的极值、最值问题 关于函数的极值、最值的考向有：1.求函数的极值、最值；2.围绕函数的极值、最值，确定参数的值或取值范围；3.生活中的最优化问题. 典例3. （2018年文北京卷）设函数. （Ⅰ）若曲线在点处的切线斜率为0，求a； （Ⅱ）若在处取得极小值，求a的取值范围. 典例4.（2019·全国高考真题（理））已知函数 . （1）讨论 的单调性； （2）是否存在 ，使得 在区间 的最小值为 且最大值为1？若存在，求出 的所有值；若不存在，说明理由. （三）导数与解不等式、证明不等式问题 应用导数解不等式、证明不等式等问题，主要利用函数的单调性、极（最）值. 典例5. （2019·四川高考模拟（文））设定义在 上的函数 的导函数为 ，若 ， ，则不等式 （其中 为自然对数的底数）的解集为（ ） A． B． C． D． 典例6. （2017·全国高考真题（文））已知函数 . （1）讨论 的单调性； （2）当 时，证明 . （四）函数的零点问题 函数的零点，即的根，亦即函数的图象与轴交点横坐标，求函数零点、判断函数零点的个数与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点，从而判断函数的大致图像，讨论其图象与轴的位置关系（或者转化为两个熟悉函数交点问题），进而确定参数的取值范围． 典例7.（2018·江苏高考真题）若函数 在 内有且只有一个零点，则 在 上的最大值与最小值的和为__________． 典例8.（2018·全国高考真题（文））已知函数 ． （1）若 ，求 的单调区间； （2）证明： 只有一个零点． 题型一 函数的单调性问题 1.在内可导函数，在任意子区间内都不恒等于0. 在上为增函数． 在上为减函数． 2.利用导数研究函数的单调性的方法步骤：①确定函数的定义域；②求导数；③由（或）解出相应的的取值范围，当时，在相应区间上是增函数；当时，在相应区间上是减增函数. 3．利用导数求函数单调区间的方法 (1)当导函数不等式可解时，解不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0求出单调区间． (2)当方程f′(x)＝0可解时，解出方程的实根，按实根把函数的定义域划分区间，确定各区间f′(x)的符号，从而确定单调区间． (3)若导函数的方程、不等式都不可解，根据f′(x)结构特征，利用图象与性质确定f′(x)的符号，从而确定单调区间． 温馨提醒：所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用并集“∪”及“或”连接，只能用“，”“和”字隔开． 4.由函数的单调性求参数的取值范围的方法 (1)可导函数在区间(a，b)上单调，实际上就是在该区间上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，得到关于参数的不等式，从而转化为求函数的最值问题，求出参数的取值范围． (2)可导函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f′(x)＞0(或f′(x)＜0)在该区间上存在解集，从而转化为不等式问题，求出参数的取值范围． (3)若