[]吉林省辽源市田家炳高级中学友好学校第六十八届2019-2020学年高二上学期期末联考数学（理）试题（pdf版）

1 友好学校第六十八届期末联考 高二理科数学答案 一、单项选择（每题 5 分，共计 60 分） 1-12 BACDA BBBCD DB 二、填空题（每空 5 分，共计 20 分） 13、 [1,+∞） 14、 (6,4) 15、 7 16、①③ 三、解答题（17 题、18 题、19 题、20 题、21 题每题 12 分，22 题 10 分，共计 70 分） 17、设 p：实数 x满足 x 2 －5ax＋4a 2 <0(其中 a>0)，q：实数 x满足 2<x≤4. (1)若 a＝1，且 p∧q为真，求实数 x的取值范围． (2)若 p 是 q 的充分不必要条件，求实数 a的取值范围． 【答案】 （1）当 a＝1时，解得 1＜x＜4， 1 即 p 为真时实数 x的取值范围是 1＜x＜4. 若 p∧q为真，则 p真且 q真，  2 所以实数 x的取值范围是（2,4）． 4 （2） p 是 q 的充分不必要条件即 p是 q的必要不充分条件，5 设 A＝{x|p（x）}，B＝{x|q（x）}，则 B A， 由 x 2 －5ax＋4a 2 ＜0得（x－4a）（x－a）＜0， ∵a＞0，∴A＝（a,4a），  7 又 B＝（2,4]，则 a≤2且 4a＞4，解得 1＜a≤2.  10 所以实数 a的取值范围是（1,2]  12 18、如图，正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝4，点 E在 C1C 上，且 1 1 3 4 C E C C (1)证明 A1C⊥平面 BED； (2)求二面角 A1－DE－B 的余弦值 解: 以 D为坐标原点，射线 DA 为 x 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐 2 标系 D－xyz. 依题设 B(2,2,0)，C(0,2,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,4)．2 DE → ＝(0,2,1)，DB → ＝(2,2,0)， A1C → ＝(－2,2，－4)，DA1 → ＝(2,0,4)．  3 (1)∵A1C → ·DB → ＝0，A1C → ·DE → ＝0， ∴A1C⊥BD，A1C⊥DE. 又 DB∩DE＝D， ∴A1C⊥平面 DBE. 6 (2)设向量 n＝(x，y，z)是平面 DA1E 的法向量，则 n⊥DE → ，n⊥DA1 → . ∴2y＋z＝0,2x＋4z＝0. 令 y＝1，则 z＝－2，x＝4， ∴n＝(4,1，－2)．  8 ∴cos〈n，A1C → 〉＝ n·A1C → |n||A1C → | ＝ 14 42 .  10 ∵〈n，A1C → 〉等于二面角 A1－DE－B 的平面角， ∴二面角 A1－DE－B 的余弦值为 14 42 . 12 19、由题意可知， 0.002 50 0.005 50 0.00 50 0.002 58 0 15 0x       ∴ 0.003x  .续驶里程在 200,300 的车辆数为： 20 (0.003 50 0.002 50) 5      4 3 （2）由直方图可得： 续驶里程的平均数为 0.002×50×75+0.005×50×125+0.008×50×175+0.003 ×50×225+0.002×50×275=170.  8 （3）由（2）及题意可知，续驶里程在 200,250 的车辆数为 3，分别记为 , ,A B C， 续驶里程在 250,300 的车辆数为 2，分别记为 ,a b， 设事件 A “其中恰有一辆汽车的续驶里程为 200,250 ” 从该 5辆汽车中随机抽取 2辆，所有的可能如下： ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , )A B A C A a A b B C B a B b C a C b a b 共 10 种情况，事 件 A 包 含 的 可 能 有 ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , )A a A b B a B b C a C b 共 6 种 情 况 ， 则   6 3 10 5 P A   . 12 20、 （1）由 消去 ，并整理得 ① ∵直线 与椭圆有公共点 ∴ ，可解得： 故所求实数 的取值范围为 6 （2）设直线 与椭圆的交点为 ， 由①得： ， 9   2 2 2 22