天津市部分区2019-2020学年度第一学期期末考试高二数学

天津市部分区2019〜2020学年度第一学期期末考试 高二数学 第I卷（选择题共40分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知空间向量 ， ，若 ，则实数 (A) -2 (B) -1 (C)1 （D) 2 2.在复平面内，复数 是虚数单位)对应的点位于 (A)第一象限 （B)第二象限 (C)第三象限 （D)第四象限 3.设 ，则“ ”是“ ”的 (A)充分不必要条件 （B)必要不充分条件 (C)充要条件 （D)既不充分又不必要条件 4.我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百一十五里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还其大意为：“有一个人走315里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了 6天后到达目的地. ”则该人最后一天走的路程为 (A)20里 （B) 10里 (C) 5 里 （D) 2.5 里 5.若抛物线 的准线经过双曲线 的一个焦点，则 (A) 2 (B) 10 (C) (D) 6.已知函数 ， 为 的导函数，则 (A) (B) (C) （D) 7.正方体 ，点E，F分别是的中点，则EF与 所成角的余弦值为 (A) 0 (B) (C) （D) 8.曲线 在点（1，1）处的切线方程为 (A) (B) (C) (D) 9.设双曲线 的右焦点为F，点P在C的一条渐近线 上，O为坐标原点，若 且 的面积为 ，则C的方程为 (A) (B) (C) (D) 10.若函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是 (A)(-1,0] (B)[0,1) (C)(-1,1) (D)[-1,1] 第Ⅱ卷（共80分) 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 11. 是虚数单位，则 的值为 . 12.已知函数 为 的导函数，则 的值为 . 13.已知实数 为函数 的极小值点，则 . 14.已知“ ”是假命题，则实数 的取值范围为 . 15.设 ，则 的最小值为 . 三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分12分） 已知函数 . (I)若曲线 在点 处的切线方程为 ,求 的值； (II)若 ,求 的单调区间. 17.(本小题满分12分） 如图，在四棱锥 中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，BC=4，PA=AD=CD=2，点E为 PC 的中点. (I) 证明：DE∥平面PAB; (II)求直线与平面PCD所成角的正弦值. 18.(本小题满分12分） 设数列{ }的前 项和为 ，且 ，等比数列{ }满足 . (I)求{ }和{ }的通项公式; (II)求数列{ }的前 项和. 19.(本小题满分12分） 已知椭圆 的长轴长为4，离心率为 . (I)求C的方程； (II)设直线 交C于A，B两点，点A在第一象限， 轴，垂足为M, 连结心并延长交C于点N.求证：点A在以BN为直径的圆上. 20.(本小题满分、12分） 已知函数 . (I)若 ，求 的极值； (II)证明：当 时， . 高二数学参考答案 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分． 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答 案 C D A C D D A A B D 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分． 11． 12． 13． 14． 15． 三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分） 解（Ⅰ） ……………………………………1分 ……………………………………2分 ……………………………………3分 所以 ……………………………………5分 （Ⅱ） ． 令 ，得 或 . ……………………………………7分 因为 ，所以 ， ；……………………………9分 时， ． ……………………………………11分 故 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减；……12分 17．（本小题满分12分） （Ⅰ）证明： 取 中点 ，易知 是边长为2的正方形.依题意，可以建立以 为原点，分别以 , , 的方向为 轴， 轴， 轴正方向的空间直角坐标系（如图），可得 ， , ， ， ， , . ……………………………………1分 取 中点 ,则 ,即 ……………………………………2分 又 ，可得 ， …………………………………………4分 又因为直线 平面 ， ………………………………………5分 所以 平面 . …………………………………………6分 （Ⅱ）解：依题意， , , ，……………7分 设 为平面 的法向量， 则 即 不妨令 ，可得 ，………………9分 因此有 .（公式1分，结果1分）………………11分 所以直线 与平面 所成角的正弦值为 . …………………………12分 18．（本小题满分12分） 解（Ⅰ）由 ，得 当 时， ； ……………………………………1分 当 时， ， ………………………………3分 经检验 时也成立， 所以 ……………………………………4分 即 ， 记数列 的公比为 ，则 ，所以 ………………………………5分 即 ……………………………………6分 （Ⅱ）设数列 的前 项和为 ， 由 ， ，有 ， ………………………………7分 故 ， ， ……………8分 上述两式相减，得 ……9分 得 . ……………………………………11分 所以，数列 的前 项和为 …………………12分 19．（本小题满分12分） 解析 （Ⅰ）设椭圆的半焦距为 ，依题意， ，又 ， 可得 ，. ……………………………………3分 所以，椭圆的方程为 . ……………………………………4分 （Ⅱ）由得． ……………………………………5分 记，则 ． 于是直线 的斜率为，方程为．…………………………………7分 由得．① …………………8分 设 ，则和 是方程①的解， 故 ，由此得 ． ……………………………………9分 从而直线 的斜率为． …………………………………11分 所以 ，即点 在以 为直径的圆上.．…………………………………12分 20．（本小题满分12分） 解（Ⅰ） ， ……………………………………1分 当 时， ；当 时， ，…………………………3分 当 变化时， 的变化情况如下表： 单调递增 单调递减 ………………………………4分 因此，当 时， 有极大值，并且极大值为 .…………………5分 （Ⅱ）令函数 ， …………6分 由（Ⅰ）知 在区间上单调递增，在区间上单调递减. 又 …………………………………8分 故 在存在唯一零点.设为，则 ………………………9分 当时， ；当时， ， 所以 在区间上单调递增，在区间上单调递减.…………………11分 又 ，所以，当时， . 故 . ……………………………………12分 $$