精品解析：上海市静安区2019-2020学年高三上学期期末数学试题

静安区2019学年第一学期教学质量检测 高三数学试卷 一、填空题：（本大题12小题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 计算_____. 2. 在单位圆中，的圆心角所对的弧长为_____. 3. 若直线和直线的倾斜角分别为和则与的夹角为_____. 4. 若直线的一个法向量为，则若直线的斜率_____. 5. 设某种细胞每隔一小时就会分裂一次，每个细胞分裂两个细胞，则小时后，个此种细胞将分裂为_____个. 6. 设是等腰直角三角形，斜边,现将（及其内部）绕斜边所在的直线旋转一周形成一个旋转体，则该旋转体的体积为_____. 7. 如图，在平行四边形中，，,则的值为_____. 8. 三倍角的正切公式为_____. 9. 设集合共有6个元素，用这全部的6个元素组成的不同矩阵的个数为________. 10. 现将函数的反函数定义为正反割函数，记为：.则________.（请保留两位小数） 11. 设双曲线的两个焦点为，点在双曲线上，若，则点到坐标原点的距离的最小值为________. 12. 设我们可以证明对数的运算性质如下：.我们将式称为证明的“关键步骤”.则证明（其中）的“关键步骤”为________. 二、选择题 13. “三个实数成等差数列”是“”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 设，若复数是纯虚数，则点一定满足（ ） A. B. C. D. 15. 若展开，则展开式中的系数等于（ ） A. 在中所有任取两个不同的数的乘积之和 B. 在中所有任取三个不同的数的乘积之和 C. 在中所有任取四个不同的数的乘积之和 D. 以上结论都不对 16. 某人驾驶一艘小游艇位于湖面处，测得岸边一座电视塔的塔底在北偏东方向，且塔顶的仰角为，此人驾驶游艇向正东方向行驶1000米后到达处，此时测得塔底位于北偏西方向，则该塔的高度约为（ ） A. 265米 B. 279米 C. 292米 D. 306米 三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分） 17. 如图，在正六棱锥中，已知底边2，侧棱与底面所成角为. （1）求该六棱锥的体积； （2）求证： 18. 请解答以下问题，要求解决两个问题的方法不同. （1）如图1，要在一个半径为1米半圆形铁板中截取一块面积最大的矩形，如何截取？并求出这个最大矩形的面积. （2）如图2，要在一个长半轴为2米，短半轴为1米的半个椭圆铁板中截取一块面积最大的矩形，如何截取？并求出这个最大矩形的面积. 19. 设{an}是等差数列，公差为d，前n项和为Sn. （1）设a1＝40，a6＝38，求Sn的最大值； （2）设，数列{bn}的前n项和为Tn，且对任意的n∈N*，都有Tn≤20，求d的取值范围. 20. 已知抛物线Γ的准线方程为.焦点为. （1）求证：抛物线Γ上任意一点的坐标都满足方程： （2）请求出抛物线Γ对称性和范围，并运用以上方程证明你的结论； （3）设垂直于轴的直线与抛物线交于两点，求线段的中点的轨迹方程. 21. 现定义：设是非零实常数，若对于任意的，都有，则称函数为“关于的偶型函数” （1）请以三角函数为例，写出一个“关于2的偶型函数”的解析式，并给予证明 （2）设定义域为的“关于的偶型函数”在区间上单调递增，求证在区间上单调递减 （3）设定义域为的“关于的偶型函数”是奇函数，若，请猜测的值，并用数学归纳法证明你的结论 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 静安区2019学年第一学期教学质量检测 高三数学试卷 一、填空题：（本大题12小题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 计算_____. 【答案】1 【解析】 【分析】利用极限的定义及运算法则直接得出． 【详解】因为，所以1. 故答案为：1. 【点睛】本题考查了极限的定义及极限的运算法则，属于基础题． 2. 在单位圆中，的圆心角所对的弧长为_____. 【答案】 【解析】 【分析】由弧长公式即可算出结果． 【详解】由弧长公式l＝|α|r1， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了弧长公式，是基础题． 3. 若直线和直线的倾斜角分别为和则与的夹角为_____. 【答案】 【解析】 【分析】直接利用角的运算的应用求出结果． 【详解】直线l1和l2的倾斜角分别为32°和152°， 所以直线l1和l2的夹角为180°﹣（152°﹣32°）＝60°． 故答案为：60°． 【点睛】本题考查的知识要点：直线的倾斜角及夹角的定义，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型． 4. 若直线的一个法向量为，则若直线的斜率_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，分析可得直