专题15 运用构造法研究函数的最值问题-2020年高考数学二轮微专题突破（江苏）

专题15 运用构造法研究函数的最值问题 一、题型选讲 题型一、恒成立与存在问题中的构造函数求参数范围 不等式的恒成立问题处理，通过分类讨论，合理的代数变形，将问题进一步转化为熟悉的问题，结合图像，通过构造函数，利用导数进行求解.特别要注意要构造熟悉的函数，便于求解。 例1、(2019宿迁期末）已知函数f(x)＝，g(x)＝kx＋b(k，b∈R)． (1) 求函数y＝f(x)的定义域和单调区间； (2) 当b＝－k时，若存在x∈[e，e2]，使得f(x)≤g(x)＋，求k的取值范围． 例2、(2015宿迁一模）已知函数f(x)＝ex(其中e是自然对数的底数)，g(x)＝x2＋ax＋1，a∈R.(1) 记函数F(x)＝f(x)·g(x)，且a>0，求F(x)的单调增区间； (2) 若对任意x1，x2∈，x1≠x2，均有|f(x1)－f(x2)|>成立，求实数a的取值范围． 例3、(2019苏锡常镇调研）．已知e为自然对数的底数，函数的图像恒在直线上方，则实数a的取值范围为 ． 题型二、构造函数证明不等式 不等式的证明是高中数学的一个热点，也是数学的一个难点，考查了数学的综合能力和对知识点的处理。对于这种问题最常见的处理方式就是讲不等式进行变形，构造函数，研究这个函数的最值问题。 例4、(2019南通、泰州、扬州一调）已知函数f(x)＝＋lnx(a∈R)． (1) 讨论f(x)的单调性； (2) 设f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)有两个不相同的零点x1，x2. ①求实数a的取值范围； ②证明：x1f′(x1)＋x2f′(x2)>2lna＋2. 例5、(2017苏州期末）已知函数f(x)＝(lnx－k－1)x(k∈R)． (1) 当x＞1时，求函数f(x)的单调区间和极值； (2) 若对于任意x∈[e，e2]，都有f(x)＜4lnx成立，求实数k的取值范围； (3) 若x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)，证明：x1x2＜e2k. 题型三 、构造函数求线段的长度、斜率等问题 对于涉及到求距离斜率等问题，运用集合法不好解决的可以考虑所给的形式，构造是的的函数进行求解。一般地，对于以下结构的问题需要注意其式子的几何意义：(1)表示两点间的距离或向量的模；(2)k＝表示过点(a，b)与(x，y)的直线的斜率；(3)Ax＋By与直线Ax＋By＋C＝0的截距有关；(4)P(cosθ，sinθ)表示单位圆x2＋y2＝1上的任意一点；(5)a2±ab＋b2与余弦定理有关，在解题过程中可以利用这些式子的几何意义构造一些特殊的函数。 例6、(2018苏州期末）已知直线y＝a分别与直线y＝2x－2和曲线y＝2ex＋x相交于点A，B，则线段AB长度的最小值为________． 例7、(2017镇江期末） 已知不等式(m－n)2＋(m－lnn＋λ)2≥2对任意m∈R，n∈(0，＋∞)恒成立，则实数λ的取值范围为________． 二、达标训练 1、(2019扬州期末） 若存在正实数x，y，z满足3y2＋3z2≤10yz，且lnx－lnz＝，则的最小值为_________． 2、(2016盐城三模） 若函数f(x)＝ex＋x3－x－1的图像上有且只有两点P1，P2，使得函数g(x)＝x3＋的图像上存在两点Q1，Q2，且P1与Q1，P2与Q2分别关于坐标原点对称，则实数m的取值集合是________． 3、(2019苏锡常镇调研（一）） 已知函数f(x)＝x2＋|x－a|，g(x)＝(2a－1)x＋alnx，若函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图像恰好有两个不同的交点，则实数a的取值范围为________． 4、(2017南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调）已知对任意的x∈R,3a(sinx＋cosx)＋2bsin2x≤3(a，b∈R)恒成立，则当a＋b取得最小值时，a的值是________． 5、(2017南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调）已知函数f(x)＝，g(x)＝lnx，其中e为自然对数的底数． (1) 求函数y＝f(x)g(x)在x＝1处的切线方程； (2) 若存在x1，x2(x1≠x2)，使得g(x1)－g(x2)＝λ[f(x2)－f(x1)]成立，其中λ为常数，求证：λ＞e； (3) 若对任意的x∈(0,1]，不等式f(x)g(x)≤a(x－1)恒成立，求实数a的取值范围． 6、(2017苏州暑假测试）已知函数f(x)＝x－lnx，g(x)＝x2－ax. (1) 求函数f(x)在区间[t，t＋1](t＞0)上的最小值m(t)； (2) 令h(x)＝g(x)－f(x)，A(x1，h(x1))，B(x2，h(x2))(x1≠x2)是函数h(x)图像上任意两点，且满足＞1，求实数a的取值范围； (3) 若