专题17 三次函数的图像与性质-2020年高考数学二轮微专题突破（江苏）

专题17 三次函数的图像与性质 1、 例题选讲 题型一 运用三次函数的图像研究零点问题 遇到函数零点个数问题，通常转化为两个函数图象交点问题，进而借助数形结合思想解决问题；也可转化为方程解的个数问题，通过具体的解方程达到解决问题的目的.前者由于是通过图形解决问题，故对绘制的函数图象准确度和细节处要求较高，后者对问题转化的等价性和逻辑推理的严谨性要求较高.下面的解法是从解方程的角度考虑的. 例1、(2017南通、扬州、泰州、淮安三调）已知函数若函数恰有2个不同的零点，则实数a的取值范围是 ． 例2、(2017南京学情调研）已知函数f(x)＝当x∈(－∞，m]时，f(x)的取值范围为[－16，＋∞)，则实数m的取值范围是________． 题型二 三次函数的单调性问题 研究三次函数的单调性，往往通过导数进行研究。要特别注意含参的讨论。 例3、已知函数，． （1）求以为切点的切线方程，并证明此切线恒过一个定点； （2）若对一切恒成立，求k的最小值的表达式； （3）设，求的单调增区间． 例4、(2018无锡期末） 若函数f(x)＝(x＋1)2|x－a|在区间[－1，2]上单调递增，则实数a的取值范围是________． 例5、(2018苏州期末）已知函数f(x)＝其中常数a∈R. (1) 当a＝2时，求函数f(x)的单调区间； (2) 若方程f(－x)＋f(x)＝ex－3在区间(0，＋∞)上有实数解，求实数a的取值范围； 题型三 三次函数的极值与最值问题 ①利用导数刻画函数的单调性，确定函数的极值；② 通过分类讨论，结合图象，实现函数的极值与零点问题的转化. 函数、方程和不等式的综合题，常以研究函数的零点、方程的根、不等式的解集的形式出现，大多数情况下会用到等价转化、数形结合的数学思想解决问题，而这里的解法是通过严谨的等价转化，运用纯代数的手段来解决问题的，对抽象思维和逻辑推理的能力要求较高，此题也可通过数形结合的思想来解决问题，可以一试. 例6、(2018苏锡常镇调研）已知函数R． （1）若， ① 当时，求函数的极值（用表示）； ② 若有三个相异零点，问是否存在实数使得这三个零点成等差数列？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由； 例7、（2017江苏）已知函数有极值，且导函数的极值点是的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：； （3）若这两个函数的所有极值之和不小于，求a的取值范围． 例8、(2018南京学情调研）已知函数f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax，a∈R. (1) 曲线y＝f(x)在x＝0处的切线的斜率为3，求a的值； (2) 若对于任意x∈(0，＋∞)，f(x)＋f(－x)≥12lnx恒成立，求a的取值范围； (3) 若a＞1，设函数f(x)在区间[1，2]上的最大值、最小值分别为M(a)，m(a)，记h(a)＝M(a)－m(a)，求h(a)的最小值． 2、 达标训练 1、(2017苏州暑假测试） 已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k(x＋1)有两个不同的实数根，则实数k的取值范围是________． 2、(2017苏北四市期末） 已知函数f(x)＝若函数f(x)的图像与直线y＝x有三个不同的公共点，则实数a的取值集合为________． 3、(2019南京、盐城二模）已知函数f(x)＝设g(x)＝kx＋1，且函数y＝f(x)－g(x)的图像经过四个象限，则实数k的取值范围为________． 4、(2018苏中三市、苏北四市三调）已知函数的图象恰好经过三个象限，则实数a的取值范围是 ． 5、(2019苏州期末）已知函数f(x)＝ax3＋bx2－4a(a，b∈R)． (1) 当a＝b＝1时，求f(x)的单调增区间； (2) 当a≠0时，若函数f(x)恰有两个不同的零点，求的值； (3) 当a＝0时，若f(x)<lnx的解集为(m，n)，且(m，n)中有且仅有一个整数，求实数b的取值范围． 6、(2019南京、盐城一模）若函数y＝f(x)在x＝x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y＝f(x)的极值点． 设函数f(x)＝x3－tx2＋1(t∈R)． (1) 若函数f(x)在(0，1)上无极值点，求t的取值范围； (2) 求证：对任意实数t，函数f(x)的图像总存在两条切线相互平行； (3) 当t＝3时，函数f(x)的图像存在的两条平行切线之间的距离为4，求满足此条件的平行线共有几组． 7、(2018南通、泰州一调）已知函数g(x)＝x3＋ax2＋bx(a，b∈R)有极值，且函数f(x)＝(x＋a)ex的极值点是g(x)的极值点，其中e是自然对数的底数．(极值点是指函数取得极值时对应的