专题11.2 二项式定理（讲）-2020年高考数学一轮复习讲练测（江苏版）

2020年高考数学一轮复习讲练测 专题11.2 二项式定理——讲 1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理； 2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 知识点一：二项式定理 【基础知识】 1. 二项式定理 ，这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做的二项展开式，其中的系数 ()叫做二项式系数．式中的叫做二项展开式的通项，用表示，即展开式的第项；. 2．二项展开式形式上的特点 (1)项数为. (2)各项的次数都等于二项式的幂指数，即与的指数的和为. (3)字母按降幂排列，从第一项开始，次数由逐项减1直到零；字母按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到. (4)二项式的系数从，，一直到，. 3. 二项式系数的性质 (1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即，，，. (2)增减性与最大值：二项式系数，当时，二项式系数是递增的；由对称性知：当时，二项式系数是递减的． 当是偶数时，中间的一项取得最大值． 当是奇数时，中间两项 和相等，且同时取得最大值． (3)各二项式系数的和 的展开式的各个二项式系数的和等于，即，二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即， 4.注意:（1）．分清是第项，而不是第项. (2)．在通项公式中，含有、、、、、这六个参数，只有、、、是独立的，在未知、的情况下，用通项公式解题，一般都需要首先将通式转化为方程（组）求出、,然后代入通项公式求解. (3)．求二项展开式中的一些特殊项，如系数最大项，常数项等，通常都是先利用通项公式由题意列方程，求出，再求所需的某项；有时则需先求,计算时要注意和的取值范围以及 它们之间的大小关系. (4) 在中，就是该项的二项式系数，它与，的值无关；而项的系数是指化简后字母外的数． 5．二项式的应用 （1）求某些多项式系数的和； （2）证明一些简单的组合恒等式； （3）证明整除性,①求数的末位；②数的整除性及求系数；③简单多项式的整除问题； （4）近似计算.当充分小时，我们常用下列公式估计近似值： ①；②； （5）证明不等式. 【典例1】若的展开式中项的系数为280，则= ________. 【变式1】 已知的展开式中没有常数项，，且2 ≤ n ≤ 7，则n=______． 考点一：二项式定理 【典例1】的展开式中的系数是________. 【变式1】如果，那么的值是________. 【思想方法】 1.在应用通项公式时，要注意以下几点： ①它表示二项展开式的任意项，只要与确定，该项就随之确定； ②是展开式中的第项，而不是第项； ③公式中，，的指数和为且，不能随便颠倒位置； ④对二项式展开式的通项公式要特别注意符号问题． ⑤在二项式定理的应用中，“赋值思想”是一种重要方法，是处理组合数问题、系数问题的经典方法． 2. 二项定理问题的处理方法和技巧: ⑴运用二项式定理一定要牢记通项，注意与虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题，另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指，而后者是字母外的部分．前者只与和有关，恒为正，后者还与，有关，可正可负． ⑵ 对于二项式系数问题，应注意以下几点： ①求二项式所有项的系数和，可采用“特殊值取代法”，通常令字母变量的值为1； ②关于组合恒等式的证明，常采用“构造法”——构造函数或构造同一问题的两种算法； ③证明不等式时，应注意运用放缩法. ⑶ 求二项展开式中指定的项，通常是先根据已知条件求，再求，有时还需先求，再求，才能求出. ⑷ 有些三项展开式问题可以变形为二项式问题加以解决；有时也可以通过组合解决，但要注意分类清楚，不重不漏. ⑸ 对于二项式系数问题，首先要熟记二项式系数的性质，其次要掌握赋值法，赋值法是解决二项式系数问题的一个重要手段. ⑹ 近似计算要首先观察精确度，然后选取展开式中若干项. ⑺ 用二项式定理证明整除问题，一般将被除式变为有关除式的二项式的形式再展开，常采用“配凑法”“消去法”配合整除的有关知识来解决. 多项式乘法的进位规则:在求系数过程中,尽量先化简，降底数的运算级别,尽量化成加减运算，在运算过程可以适当注意令值法的运用，例如求常数项，可令.在二项式的展开式中，要注意项的系数和二项式系数的区别. 3. 排列组合在二项展开式中的应用：展开式可以由次数、项数和系数来确定． (1)次数的确定：从个相同的中各取一个(或)乘起来，可以构成展开式中的一项，展开式中项的形式是，其中. (2)项数的确定：满足条件的共组． 即将展开共项，合并同类项后共项． (3)系数的确定：展开式中含()项的系数为 (即个，个的排列数)因此展开式中的通项是： () 这种方法比数学归纳法推导二项式定理更具一般性和创造性，不仅