2020年1月1日 圆锥曲线的方程与几何性质-学易试题君之每日一题君2019-2020学年上学期高二数学（理）人教版（必修5+选修2-1）

1月1日 圆锥曲线的方程与几何性质 高考频度：★★★☆☆ 难易程度：★★★☆☆ （1）过椭圆的右焦点作椭圆长轴的垂线交椭圆于两点，为椭圆的左焦点，若为正三角形，则椭圆的离心率为 A． B． C． D． （2）已知圆，当变化时，圆上的点与原点的最短距离是双曲线的离心率，则双曲线的渐近线方程为 A． B． C． D． （3）已知点是抛物线上一点，设点到此抛物线准线的距离是，到直线的距离为，则的最小值是 A．5 B．4 C． D． 【参考答案】（1）B；（2）C；（3）C． 【试题解析】（1）根据题意，如图所示， 可得为正三角形， 在中，有， 点在椭圆上，由椭圆的定义可得， 则该椭圆的离心率，故选B． （2）圆E的圆心到原点的距离， 据此可得，当时，圆上的点与原点的最短距离是，即双曲线的离心率为， 据此可得， 双曲线的渐近线方程为．故选C． （3）因为点P到抛物线的准线的距离等于点P到抛物线的焦点的距离|PF|，则的最小值即点F到直线的距离． 易知，所以．故选C． 【名师点睛】（1）椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率（或离心率的取值范围）有两种方法： ①求出，，代入公式； ②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为，的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以或转化为关于或的方程（不等式），解方程（不等式）即可得（的取值范围）． （2）对于双曲线的渐近线，有下面两种考查方式：①已知双曲线的方程求其渐近线方程；②给出双曲线的渐近线方程求双曲线方程，由渐近线方程可确定a，b的关系，结合已知条件可解． 求解双曲线的离心率的范围，一般是根据条件，结合和，得到关于的不等式，求解即得．注意区分双曲线离心率的范围，椭圆离心率的范围．另外，在建立关于的不等式时，注意双曲线上的点到焦点的距离的最值的应用． （3）涉及抛物线的焦半径、焦点弦的问题，可以优先考虑利用抛物线的定义将点到焦点的距离转化为点到准线的距离，即或，使问题简化．与抛物线的焦点弦长有关的问题，可直接应用公式求解．解题时，需依据抛物线的标准方程，确定弦长公式是由交点横坐标定还是由交点纵坐标定，是p与交点横（纵）坐标的和还是与交点横（纵）坐标的差，这是正确解题的关键． 有关抛物线上一点M到抛物线焦点F和到已知点E（E在抛物线内）的距离之和的最小值问题，可依据抛物线的图形，过点