2020年1月2日 直线与圆锥曲线的位置关系-学易试题君之每日一题君2019-2020学年上学期高二数学（理）人教版（必修5+选修2-1）

1月2日 直线与圆锥曲线的位置关系 高考频度：★★★★☆ 难易程度：★★★★☆ 已知椭圆的长轴长为，焦距为2，抛物线的准线经过椭圆的左焦点. （1）求椭圆与抛物线的方程； （2）直线经过椭圆的上顶点且与抛物线交于，两点，直线，与抛物线分别交于点（异于点），（异于点），证明：直线的斜率为定值. 【参考答案】（1）椭圆的方程为，抛物线的方程为；（2）见试题解析． 【试题解析】（1）由题意，得，， 所以，， 所以，所以椭圆的方程为， 所以， 由于抛物线的准线经过点，所以，所以， 故抛物线的方程为. （2）由题意知，的斜率存在，故设直线的方程为， 由，得. 设，， 则，即且， ，. 又直线的方程为， 由得， 所以，所以，从而的坐标为. 同理可得的坐标为， 所以直线的斜率，为定值. 【名师点睛】（1）判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程根的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0． （2）依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时，联立方程并消元，得到一元方程，此时注意观察方程的二次项系数是否为0，若为0，则方程为一次方程；若不为0，则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解． （3）直线与圆锥曲线的弦长问题有三种解法： ①过圆锥曲线的焦点的弦长问题，可利用圆锥曲线的定义可优化解题； ②将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，再运用两点间距离公式求弦长； ③利用设而不求的思想，其实质是利用两点之间的距离公式以及一元二次方程根与系数的关系． 1．已知抛物线，倾斜角为的直线交抛物线于，两点，且线段中点的纵坐标为1，则抛物线的准线方程是_________. 2．已知双曲线（）的离心率为，且. （1）求双曲线的方程； （2）已知直线与双曲线交于不同的两点、，且线段的中点在圆上，求的值. 3．已知椭圆过点且离心率为. （1）求椭圆C的方程； （2）是否存在过点的直线与椭圆C相交于A，B两点，且满足．若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 1．【答案】 【解析】设，则， 两式相减得， 又因为直线的斜率为1，所以，所以， 又线段AB的中点的纵坐标为1，即，所以， 所以抛物线的准线方程为． 2．【解析】（1）由题意得，解得， . 故双曲线的方程为. （2）设两点的坐标分