2020年1月4日 立体几何中的向量方法-学易试题君之每日一题君2019-2020学年上学期高二数学（理）人教版（必修5+选修2-1）

1月4日 立体几何中的向量方法 高考频度：★★★★★ 难易程度：★★★☆☆ 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2．若M，N分别为棱PD，PC上的点，O为AC的中点，且AC=2OM=2ON． （1）求证：平面ABM⊥平面PCD； （2）求直线CD与平面ACM所成的角的正弦值； （3）求点N到平面ACM的距离． 【参考答案】（1）证明见试题解析；（2）；（3）． 【试题解析】（1）AC=2OM，AM⊥MC． 又PA⊥平面ABCD，PA平面平面⊥平面ABCD， 又CD⊥AD，CD⊥平面PAD，CD⊥AM． ⊥平面PCD， ， 平面ABM⊥平面PCD． （2）如图所示，建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，P(0，0，4)，B(2，0，0)，C(2，4，0)，D(0，4，0)，M(0，2，2)．，，， 设平面ACM的法向量为n=(x，y，z)，则有， 令，则n=(–2，1，–1)． 设所求角为，则， 所以直线CD与平面ACM所成的角的正弦值为． （3）连接．AC=2ON，AN⊥NC． 设==(2，4，–4)， 则=+=(2，4，4–4)， 所以·=(2，4，4–4)·(2，4，–4)=36–16=0， 解得=， 所以=(，，)， 设点N到平面ACM的距离为h，则h=． 【解题必备】（1）①证明线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零； ②证明线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示； ③证明面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示． （2）①证明线线平行：证明两条直线的方向向量平行； ②证明线面平行：该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直，或证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，或证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示； ③证明面面平行：两个平面的法向量平行． （3）用向量法求异面直线所成的角： ①建立空间直角坐标系； ②求出两条直线的方向向量； ③代入公式求解，一般地，异面直线AC，BD的夹角β的余弦值为． （4）用向量法求直线与平面所成的角： ①分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)； ②通过平面的法向量来求，即求出斜线的