专题2.3.2-4 平面向量的坐标表示重难点题型（举一反三）-2019-2020学年高一数学必修四举一反三系列（新课标人教A版）

专题2.3.2-4平面向量的坐标表示重难点题型【举一反三系列】 【知识点1 平面向量的坐标表示】 1．正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解． 如果基底的两个基向量、互相垂直，则称这个基底为正交基底，在正交基底下分解向量，叫做正交分解，事实上，正交分解是平面向量基本定理的特殊形式． 2．平面向量的坐标表示 如图，在平面直角坐标系内，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底，对于平面上的一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数，使得=x+y.这样，平面内的任一向量都可由唯一确定，我们把有序数对叫做向量的（直角）坐标，记作=，x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标．把=叫做向量的坐标表示．给出了平面向量的直角坐标表示，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序数对唯一表示，从而建立了向量与实数的联系，为向量运算数量化、代数化奠定了基础，沟通了数与形的联系． 注： （1）由向量的坐标定义知，两向量相等的充要条件是它们的坐标相等，即且，其中． （2）要把点的坐标与向量坐标区别开来．相等的向量的坐标是相同的，但始点、终点的坐标可以不同．比如，若，，则；若，，则，，显然A、B、C、D四点坐标各不相同． （3）在直角坐标系中有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量． 【知识点2 平面向量的坐标运算】 1．平面向量坐标的加法、减法和数乘运算 运 算 坐标语言 加法与减法 记=(x1，y1)，=(x2，y2) =(x1+x2，y1+y2)，=(x2-x1，y2-y1) 实数与向量的乘积 记=(x，y)，则=(x，y) 2．如何进行平面向量的坐标运算 在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据向量的直角坐标运算法则进行计算．在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．但同时注意以下几个问题： （1）点的坐标和向量的坐标是有区别的，平面向量的坐标与该向量的起点、终点坐标有关，只有起点在原点时，平面向量的坐标与终点的坐标才相等． （2）进行平面向量坐标运算时，先要分清向量坐标与向量起点、终点的关系． （3）要注意用坐标求向量的模与用两点间距离公式求有向线段的长度是一样的． （4）要清楚向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关． 【知识点3 平面向量平行(共线)的坐标表示】 1．平面向量平行(共线)的坐标表示 设非零向量，则∥(x1，y1)=(x2，y2)，即，或x1y2-x2y1=0. 注： 若，则∥不能表示成因为分母有可能为0. 2.三点共线的判断方法 判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定，即已知 =(x2-x1，y2-y1)，=(x3-x1，y3-y1)， 若则A，B，C三点共线. 【考点1 平面向量的坐标表示】 【例1】如图，在中，点，在轴上，，，求向量的坐标． 【变式1-1】在直角坐标系中，，，，如图所示，求它们的坐标． 【变式1-2】如图，已知点、、、，求与的交点的坐标． 【变式1-3】如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）求点，的坐标； （2）求证：四边形为等腰梯形． 【考点2 平面向量的坐标计算】 【例2】已知，，，求 （1）； （2）． 【变式2-1】（2019秋•亭湖区校级月考）在平面直角坐标系中，已知，，，求： （1）的坐标； （2）的坐标． 【变式2-2】计算： （1）已知，，，求； （2）已知，，求． 【变式2-3】（2019春•承德校级月考）（1）已知，，求，，的坐标． （2）已知，，求和． 【考点3 平面向量中的定比分点问题】 【例3】已知，，，． （1）求； （2）设，，求及、点的坐标． 【变式3-1】已知、两点的坐标分别是、，是直线上的点，根据下列条件求点的坐标． （1） （2）． 【变式3-2】已知，，点在直线上，且，求． 【变式3-3】（2019春•上杭县校级期中）已知点，及，，求点，和向量的坐标． 【考点4 平面向量共线定理和三角函数求值】 【例4】（2019春•昌邑区校级期末）已知，且，求． 【变式4-1】（2019春•西区校级期中）已知，，且，求 【变式4-2】（2019•奉贤区一模）已知锐角中，三个内角为、、，向量，，，求的大小． 【变式4-3】已知向量，，，，且为锐角，求的大小． 【考点5 利用平面向量的坐标计算公式求参数】 【例5】（2018春•亳州期末）已知，， （1）当为何值时，与共线． （2）若，，且、、三点共线，求的值． 【变式5-1】（2018春•南关区校级月考）已知，，．