天津市部分区2019-2020学年度第一学期期末考试高三数学（图片版）

天津市部分区2019～2020学年度第一学期期末考试 高三数学参考答案与评分标准 一、选择题：（本大题共9个小题，每小题5分，共45分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 B C A B D A C A D 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题5分，共30分） 10． 11． 12． 13． 14．； 15． 三、解答题：（本大题共5个小题，共75分） 16．解：（1）因为， 所以. ………………………………………………1分 由于在中，，所以， 所以. ……………………………………………………3分 由正弦定理，得. 所以成等差数列. …………………………………………………………5分 （2）在中，， 由余弦定理，得 , 即. ……………………………………………………………7分 由（1）知，所以， 解得. …………………………………………………………………………9分 由正弦定理，得. 在中，因为于，所以， 所以. ……………………………12分 所以. ………………………………………14分 17．解：（1）由题意，知高一、高二、高三年级的人数之比为，由于采用分层抽样方法从中选取人，因此，高一年级应选取人，高二年级应选取人，高三年级应选取人. ……………………………………………………………………………3分 （2）由（1）知，被选取的名学生高一、高二、高三年级分别有人、人、人，所以，从这名学生任选名，且名学生分别来自三个年级的概率为. ……………………………………………………………7分 （3）由题意知，随机变量的所有可能取值为， …………………………8分 且服从超几何分布，（）. 所以，随机变量的分布列为 1 2 3 4 ………………………………………12分 所以，随机变量的数学期望为 . …………………………14分 18．（1）证明：在三角形中，且为的中点， 所以. ①…………………………………………………………………1分 在中，,. 连接，在中，， 所以. 又，所以，所以. ② ……………2分 又因为， ③ 由①②③，得平面. ……………4分 ( B 1 y z O C 1 A 1 B A C P H x )【说明】若考生运用该小题运用线面垂直、面面垂直关系证明，只要步骤合理、推理严禁完整，酌情赋分. （2）【方法一】解：以点为坐标原点，分别以 的方向为轴的正方向，建立如右图所示的 空间直角坐标系， 则， 所以. ………5分 设为平面的法向量， 则有 即 令，得 所以. ………………………………7分 易得，且为平面的法向量， 所以，， 所以. …………………………………………9分 故所求二面角的正弦值为.………………10分 （3）【方法一】解：由（2）知. 设点，则. ……………………11分 又，， 所以，从而 即点. 所以. …………………………………………………13分 ( B 1 y z O C 1 A 1 B A C P H x )所以. …………………………15 分 （2）【方法二】解：以点为坐标原点，分别以 的方向为轴的正方向，建立如右图所示的 空间直角坐标系. 则， 所以. …………5分 设为平面的法向量， 则有 即 令，得 所以. …………………………7分 易得，且为平面的法向量， 所以，. 所以. …………………………………………9分 故所求二面角的正弦值为.………………10分 （3）【方法二】解：由（2）知. 设点，则. ……………………11分 又，， 所以，从而 即点. 所以. …………………………………………………13分 所以. …………………………15 分 19．解：（1）连接.因为， 所以是等边三角形，所以. ……………………1分 又，所以,所以. 于是，有， 所以，即所求椭圆的离心率为. ……………3分 （2）①由，得， 整理，得. ……………………………………………………………4分 又因为，所以，. ………………………6分 故所求椭圆的方程为. ……………………………………………7分 ②依题意，设点. 联立方程组 消去，并整理得. ………………………………8分 则， （*） ………………………9分 且， …………………………………………10分 所以. 又点到直线的距离为， ………………………………………12分 所以. ……13分 因为，所以，解得. ………………………15分 经验证满足（