专题12.4 不等式的证明（讲）-2020年高考数学（文）一轮复习讲练测

专题12.4 不等式的证明 1.了解柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明． 2．会用参数配方法讨论柯西不等式的一般情形：2，会用向量递归方法讨论排序不等式． ≥· 3．了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法. 知识点一 基本不等式 定理1：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立. 定理2：如果a，b>0，那么，当且仅当a＝b时，等号成立，即两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均. ≥ 定理3：如果a，b，c∈R＋，那么，当且仅当a＝b＝c时，等号成立. ≥ 知识点二 不等式的证明方法 (1)比较法 ①作差法(a，b∈R)：a－b>0⇔a>b；a－b<0⇔a<b；a－b＝0⇔a＝b. ②作商法(a>0，b>0)：＝1⇔a＝b. <1⇔a<b；>1⇔a>b； (2)综合法与分析法 ①综合法：从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立.综合法又叫顺推证法或由因导果法. ②分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法. 【知识必备】 1.作差比较法的实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数(或式子)与0的大小关系. 2.用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)……”“即要证……”“就要证……”等分析到一个明显成立的结论，再说明所要证明的数学问题成立. 3.利用基本不等式证明不等式或求最值时，要注意变形配凑常数. 考点一 比较法证明不等式 【典例1】（湖南长郡中学2019届模拟） 已知a，b为正实数． (1)求证：≥a＋b. ＋ (2)利用(1)的结论求函数y＝(0＜x＜1)的最小值． ＋ 【方法技巧】比较法证明不等式的方法与步骤 1．作差比较法：作差、变形、判号、下结论． 2．作商比较法：作商、变形、判断、下结论． 【变式1】（河北邯郸一中2019届模拟） (1)设不等式|2x－1|＜1的解集为M. ①求集合M； ②若a，b∈M，试比较ab＋1与a＋b的大小. (2)若a>b>1，证明：a＋. >b＋ 考点二 综合法证明不等式 【典例2】（河北衡水二中2019届调研） 已知函数f(x)＝|x－1|－|x＋2|＋4. (1)求不等式f(x)≤2的解集M； (2)若a，b∈M，min A表示数集A中的最小数，若h＝min，证明：h≤f(x)． 【方法技巧】1.综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系．合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键． 2．在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的．在运用这些性质时，要注意性质成立的前提条件． 【变式2】（山东济南一中2019届质检） 已知函数f(x)＝2|x＋1|＋|x－2|. (1)求f(x)的最小值m； (2)若a，b，c均为正实数，且满足a＋b＋c＝m，求证：≥3. ＋＋ 考点三 分析法证明不等式 【典例3】（四川南充中学2019届模拟） 已知x，y，z，λ均为正实数． (1)求证：； ≥ (2)若x＋y＋z＝1，求证：. ≥2＋＋ 【方法技巧】 1.当要证的不等式较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆． 2．分析法证明的思路是“执果索因”，其框图表示为： →…→→→ 【变式3】（黑龙江哈尔滨三中2019届模拟） 已知函数f(x)＝|x－1|. (1)解不等式f(x)＋f(x＋4)≥8； (2)若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：f(ab)＞|a|·f. $$ 专题12.4 不等式的证明 1.了解柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明． 2．会用参数配方法讨论柯西不等式的一般情形：2，会用向量递归方法讨论排序不等式． ≥· 3．了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法. 知识点一 基本不等式 定理1：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立. 定理2：如果a，b>0，那么，当且仅当a＝b时，等号成立，即两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均. ≥ 定理3：如果a，b，c∈R＋，那么，当且仅当a＝b＝c时，等号成立. ≥ 知识点二 不等式的证明方法 (1)比较法 ①作差法(a，b∈R)：a－b>0⇔a>b；a－b<0⇔a<b；a－b＝0⇔a＝b. ②作商法(a>0，b>0)：＝1⇔a＝b. <1⇔a<b；>1⇔a>b； (2)综合法与分析法 ①综合