专题16 函数的存在与恒成立问题-2020年高考数学二轮微专题突破（江苏）

专题16 函数的存在与恒成立问题 一、题型选讲 题型一 函数的存在问题 函数的恒成立问题往往采取分离参数法，参变分离法的适用范围：判断恒成立问题是否可以采用参变分离法，可遵循以下两点原则： ①，则只需要 ，则只需要 ②，则只需要 ，则只需要 例1、(2016泰州期末） 若命题“存在x∈R，ax2＋4x＋a≤0”为假命题，则实数a的取值范围是________． 例2、(2016苏锡常镇调研） 已知函数f(x)＝x，若存在x∈，使得f(x)<2，则实数a的取值范围是________． 例3、(2019泰州期末） 已知函数f(x)＝若存在x0<0，使得f(x0)＝0，则实数a的取值范围是________． 例4、(2016南京学情调研）已知函数f(x)＝ex，g(x)＝x－b，b∈R. (1) 若函数f(x)的图像与函数g(x)的图像相切，求b的值； (2) 设函数T(x)＝f(x)＋ag(x)，a∈R，求T(x)的单调递增区间； (3) 设函数h(x)＝|g(x)|·f(x)，b＜1.若存在x1，x2∈[0,1]，使|h(x1)－h(x2)|＞1成立，求b的取值范围． 题型二 函数的恒成立问题 函数的恒成立问题往往采取分离参数法，参变分离法的适用范围：判断恒成立问题是否可以采用参变分离法，可遵循以下两点原则： （1）已知不等式中两个字母是否便于进行分离，如果仅通过几步简单变换即可达到分离目的，则参变分离法可行。但有些不等式中由于两个字母的关系过于“紧密”，会出现无法分离的情形，此时要考虑其他方法。（2）要看参变分离后，已知变量的函数解析式是否便于求出最值（或临界值），若解析式过于复杂而无法求出最值（或临界值），则也无法用参变分离法解决问题。（可参见”恒成立问题——最值分析法“中的相关题目） 参变分离后会出现的情况及处理方法：（假设为自变量，其范围设为，为函数；为参数，为其表达式）（1）若的值域为 ①，则只需要 ，则只需要 ②，则只需要 ，则只需要 例5、(2019年徐州四市联考) 已知函数f(x)＝lnx＋(e－a)x－b，其中e为自然对数的底数．若不等式f(x)≤0恒成立，则的最小值为________． 例6、(2019南京三模）已知函数f(x)＝x2－alnx＋x－，对任意x∈[1，＋∞)，当f(x)≥mx恒成立时实数m的最大值为1，则实数a的取值范围是 ． 题型三 函数的存在与恒成立的综合问题 多变量恒成立与存在问题：对于含两个以上字母（通常为3个）的恒成立不等式，先观察好哪些字母的范围已知（作为变量），那个是所求的参数，然后通常有两种方式处理 （1）选择一个已知变量，与所求参数放在一起与另一变量进行分离。则不含参数的一侧可以解出最值（同时消去一元），进而多变量恒成立问题就转化为传统的恒成立问题了。 （2）将参数与变量进行分离，即不等号一侧只含有参数，另一侧是双变量的表达式，然后按所需求得双变量表达式的最值即可。 例7、(2019苏州期末）设函数f(x)＝，若对任意x1∈(－∞，0)，总存在x2∈使得，则实数a的范围 例8、（2017苏锡常镇一调） 已知函数f(x)＝若存在x1，x2∈R，当0≤x1<4≤x2≤6时，f(x1)＝f(x2)，则x1f(x2)的取值范围是________． 例9、(2017南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调）已知函数f(x)＝，g(x)＝lnx，其中e为自然对数的底数． (1) 求函数y＝f(x)g(x)在x＝1处的切线方程； (2) 若存在x1，x2(x1≠x2)，使得g(x1)－g(x2)＝λ[f(x2)－f(x1)]成立，其中λ为常数，求证：λ＞e； (3) 若对任意的x∈(0,1]，不等式f(x)g(x)≤a(x－1)恒成立，求实数a的取值范围． 二、达标训练 1、(2017泰州期末） 若命题“存在x∈R，ax2＋4x＋a≤0”为假命题，则实数a的取值范围是________． ． 2、(2017苏北四市摸底）已知函数f(x)＝ex－1＋x－2(e为自然对数的底数)，g(x)＝x2－ax－a＋3，若存在实数x1，x2，使得f(x1)＝g(x2)＝0，且|x1－x2|≤1，则实数a的取值范围是________. 3、(2017南京学情调研）已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f(x)＋g(x)＝x.若存在x0∈，使得等式af(x0)＋g(2x0)＝0成立，则实数a的取值范围是________． 4、（2018无锡期末）已知函数f(x)＝若对于∀t∈R，f(t)≤kt恒成立，则实数k的取值范围是________． 5、(2018南京学情调研）已知函数f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax，a∈R. (1