解密11 数列的前n项和及其应用-备战2020年高考数学（文）之高频考点解密

解密11 数列的前n项和及其应用 高考考点 命题分析 三年高考探源 考查频率 数列求和 从近三年高考情况来看，数列求和及其应用一直是高考的热点，尤其是等差、等比数列的求和公式、错位相减法求和、裂项相消法求和及拆项分组法求和为考查的重点，常与函数、方程、不等式等联系在一起综合考查，考查内容比较全面，多以解答题的形式呈现，解题时要注意基本运算、基本能力的运用，同时注意函数与方程、转化与化归等数学思想的应用. 2019新课标全国Ⅰ 14 2019新课标全国Ⅲ 14 2017新课标全国Ⅰ 17 2017新课标全国II 17 2017新课标全国Ⅲ 17 ★★★★★ 数列的综合应用 2019新课标全国Ⅰ 18 2019新课标全国II 18 2018新课标全国Ⅱ 17 ★★★★ 考点1 公式法求和 题组一 等差数列的求和公式 调研1 在等差数列中，，，则数列的前9项的和等于 A．297 B．144 C．99 D．66 【答案】C 【解析】因为，解得：. . 故选：C. 【名师点睛】本题主要考查等差数列的性质和求和公式，熟记性质和公式是解决本题的关键，属于简单题.求解时，根据等差数列的性质可求出和的值，代入等差数列求和公式即可求出. 调研2 设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S17＞0，S18＜0，则，，…，中最大的项为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为{an}是等差数列，所以S17==17a9＞0，所以a9＞0，又S18==9(a9＋a10)＜0，所以a10＜0，即该等差数列前9项均是正数项，从第10项开始是负数项，则最大. 故选C． 题组二 等比数列的求和公式 调研3 在等比数列{an}中，a1＋an=34，a2·an−1=64，且前n项和Sn=62，则项数n等于 A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【解析】设等比数列{an}的公比为q，由题意得a2an−1=a1an=64， 又a1＋an=34，解得a1=2，an=32或a1=32，an=2. 当a1=2，an=32时，Sn====62，解得q=2.又an=a1qn−1，所以2×2n−1=2n=32，解得n=5. 同理，当a1=32，an=2时，由Sn====62，解得q=.又an=a1qn−1=32×n−1=2，所以n−1==4，即n−1=4，n=5. 综上，项数n等于5， 故选B． 调研4 在数列中，，，设. （1）证明：数列是等比数列，并求的通项； （2）求的前项和. 【答案】（1）见解析；（2）. 【解析】（1）∵， ∴数列是首项为2，公比为4的等比数列. 从而， 则. （2）∵ ∴. 【名师点睛】数列问题是高考中的重要问题，主要考查等差、等比数列的通项公式和前项和，主要利用解方程的思想处理通项公式问题，利用分组求和、裂项相消、错位相减法等方法求数列的和．在利用错位相减求和时，要注意提高运算的准确性，防止运算错误． （1）利用等比数列定义证明数列是等比数列； （2）利用等比数列前n项和公式即可得到结果. ☆技巧点拨☆ 1．两组求和公式 (1)等差数列：； (2)等比数列：． 2．在进行等差(比)数列项与和的运算时，若条件和结论间的联系不明显，则均可化成关于a1和d(q)的方程组求解，但要注意消元法及整体计算，以减少计算量． 注：在运用等比数列前n项和公式时，一定要注意判断公比q是否为1，切忌盲目套用公式导致失误． 考点2 错位相减法求和 调研1 已知等比数列的前项和为，若，则数列的前项和为 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，不成立；当时， ，两式相除得，解得， 则，所以，所以，则数列的前项和为 ， ， 两式相减得到：， 所以，故选D． 调研2 记为等差数列的前n项和，已知，． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）∵等差数列{an}中，a1=−7，S3=−15， ∴a1=−7，3a1+3d=−15，解得a1=−7，d=2， ∴an=−7+2（n−1）=2n−9. （2）由（1）得，利用错位相减法， ，① ，② ①−②： ． ∴． 【名师点睛】本题主要考查等差数列的通项公式的求法以及利用错位相减法求数列的和．错位相减法适用于一个等差数列乘一个等比数列组合而成的新数列． （1）根据a1=−7，S3=−15，可得a1=−7，3a1+3d=−15，求出等差数列{an}的公差，然后求出an即可； （2）由（1），利用错位相减法可求数列的前项和． ☆技巧点拨☆ 错位相减法 适用于各项由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积组成的数列．把Sn=a1＋a2＋…＋an两边同乘以相应等比数列的公比q，得到qSn=a1q