2020年1月2日 直线与圆锥曲线的位置关系-学易试题君之每日一题君2019-2020学年上学期高二数学（文）人教版（必修5+选修1-1）

1月2日 直线与圆锥曲线的位置关系 高考频度：★★★★★ 难易程度：★★★★☆ 已知椭圆C：+()的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为2．直线l:y=kx+m(m≠0)与椭圆相交于不同的A，B两点． （1）求椭圆的方程； （2）若线段AB中点的横坐标为，求k的值． 【参考答案】（1）；（2）或． 【试题解析】（1）依题意有，即a=c，所以b=c． 椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为2，即bc=2，故b=c=，a=2， 所以椭圆的方程为． （2）联立直线l的方程与椭圆的方程得，代入消元得(2k2+1)x2+4kmx+(2m2－4)=0． 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1+x2=，x1x2=． 由题意知，x1+x2==m，因为m≠0，所以=1，即2k2+4k+1=0， 解得或． 【解题必备】（1）判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程根的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0．依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时，联立方程并消元，得到一元方程，此时注意观察方程的二次项系数是否为0，若为0，则方程为一次方程；若不为0，则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解． （2）直线与圆锥曲线的弦长问题有三种解法： ①过圆锥曲线的焦点的弦长问题，可利用圆锥曲线的定义可优化解题； ②将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，再运用两点间距离公式求弦长； ③利用设而不求的思想，其实质是利用两点之间的距离公式以及一元二次方程根与系数的关系． 1．已知椭圆E：与y轴的正半轴相交于点M，点F1，F2为椭圆的焦点，且是边长为2的等边三角形，若直线l：与椭圆E交于不同的两点A，B． （1）直线MA，MB的斜率之积是否为定值？若是，请求出该定值，若不是，请说明理由； （2）求的面积的最大值． 2．已知抛物线：，焦点为，直线交抛物线于，两点，为的中点，且． （1）求抛物线的方程； （2）若，求的最小值． 1．【答案】（1）是定值，该定值为；（2）． 【解析】（1）因为是边长为2的等边三角形，所以，，， 所以，所以椭圆E：+=1，点M(0，)． 将直线l：代入椭圆E的方程，整理得 ①． 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由①式可得， 所以k