2020年1月4日 利用导数求解恒成立、存在性问题-学易试题君之每日一题君2019-2020学年上学期高二数学（文）人教版（必修5+选修1-1）

1月4日 利用导数求解恒成立、存在性问题 高考频度：★★★★☆ 难易程度：★★★★☆ （1）若存在正数使成立，则实数的取值范围是 A． B． C． D． （2）已知定义在上的奇函数满足：当时，．若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【参考答案】（1）D；（2）A． 【试题解析】（1）由题意知，存在正数，使，所以， 而函数在上是增函数，所以，所以， 故实数的取值范围是，故选D． （2）由题意得，当时，，则在上单调递增，又根据奇函数的性质可知，在上单调递增，那么由可得在上恒成立，分离参数得，令，求导可得，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故，所以．故选A． 【解题必备】1．小题（1）主要考查不等式、分离参变量、函数的单调性等知识，考查转化与化归等数学思想，考查分析问题以及解决问题的能力.本题主要考查导数的最值应用，奇函数的性质，分离参数的方法，属于中档题． 2．小题（2）有两种方法求解：①利用函数是奇函数，可将时的函数解析式求出，再用函数的单调性求解；②直接先求出时的单调性，再根据奇函数在对称区间上的单调性相同可得出在上单调递增，可得到在上恒成立，再利用分离参数的方法，可得到，进而利用求导的方法求出的最小值即可．此题判断出在上的单调性是解题的关键．利用分离参数法可以快速求解该类问题． 1．已知函数，（为自然对数的底数）． （1）讨论函数的单调性； （2）当时，恒成立，求实数的取值范围． 2．设函数，为自然对数的底数． （1）若曲线在点处的切线方程为，求实数的值； （2）当时，若存在，使成立，求实数的最小值． 1．【答案】（1）见解析；（2）． 【解析】（1）． 若，则，在上单调递增； 若，当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增． （2）当时，，即． 令，则． 令，则． 当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 又，，所以当时，，即，所以单调递减； 当时，，即，所以单调递增， 所以，所以， 故实数的取值范围为． 2．【答案】（1）；