第14讲 小升初奥数容斥原理

容斥原理 一、两量重叠问题 求两个集合并集的元素的个数，从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理． ( 1 ．先包含—— 重叠部分 计算了 次，多加了 次； 2 ．再排除—— 把多加了 次的重叠部分 减去． )　 二、三量重叠问题 类、类与类元素个数的总和类元素的个数类元素个数类元素个数既是类又是类的元素个数既是类又是类的元素个数既是类又是类的元素个数同时是类、类、类的元素个数．用符号表示为：．图示如下： ( 图中小圆表示 的元素的个数， 中圆表示 的元素的个数， 大圆表示 的元素的个数． ) ( 1 ．先包含： 重叠部分 、 、 重叠了 次，多加了 次． 2 ．再排除： 重叠部分 重叠了 次，但是在进行 计算时都被减掉了． 3 ．再包含： ． ) 1、 两量重叠问题 例1、两张长厘米，宽厘米的长方形纸摆放成如图所示形状．把它放在桌面上，覆盖面积有多少平方厘米？ 举一反三、有长8厘米,宽6厘米的长方形与边长为5厘米的正方形,如图,放在桌面上(阴影是图形的重叠部分),那么这两个图形盖住桌面的面积是多少平方厘米。 例2、实验小学六年级二班，参加语文兴趣小组的有人，参加数学兴趣小组的有人，有人两个小组都参加．这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？ 举一反三、一个班人，完成作业的情况有三种：一种是完成语文作业没完成数学作业；一种是完成数学作业没完成语文作业；一种是语文、数学作业都完成了．已知做完语文作业的有人；做完数学作业的有人．这些人中语文、数学作业都完成的有多少人？ 例3、有位旅客，其中有人既不懂英语又不懂俄语，有人懂英语，人懂俄语．问既懂英语又懂俄语的有多少人？ 举一反三、某班共有人，参加美术小组的有人，参加音乐小组的有人，有人两个小组都参加了．这个班既没参加美术小组也没参加音乐小组的有多少人？ 例4、甲、乙、丙三个小组学雷锋，为学校擦玻璃，其中块玻璃不是甲组擦的，块玻璃不是乙组擦的，且甲组与乙组一共擦了块玻璃．那么，甲、乙、丙三个小组各擦了多少块玻璃？ 举一反三、在从1至1000的自然数中，既不