沪教版（上海）九年级秋季班-第20讲：一模复习之特殊三角形的存在性-教师版

直角三角形的存在性问题，分类特征非常明显，首先考虑三角形的哪个角有可能称为直角，再把这个角为直角作为条件，并结合题目中的条件在进行说理计算．此类综合题需要用到的知识点较多，用于考察同学们的思维和分析能力． 【例1】 （2015学年·奉贤区一模·第24题）如图，二次函数 图像经过原点和点A（2，0），直线AB与抛物线交于点B，且 . （1）求二次函数解析式及其顶点C的坐标； （2）在直线AB上是否存在点D，使得 为直角三角形.若存在，求出点D的坐标，若不存在，说明理由. 【难度】★★★ 【答案】（1） ，顶点C(1，-1)；（2）点D的坐标为(2，0)或( ， )． 【解析】解：（1）∵二次函数 图像经过原点和点A(2，0)， ∴ ， 解得： ．∴二次函数的解析式为： ； ∵ ， ∴顶点C的坐标为(1，-1)； （2）∵ ，A（2，0）， ∴直线AB的解析式为： ． 第1种情况，当∠BDC=90°时，则 ． ∴△BDM∽△DCN，∴ 设D(m，-m+2)，则BM=m+1，DN=-m+3，DM=m+1，CN=m-1 代入比例式后亦可以求得：m=2(m=-1舍掉)，∴D(2，0)； 第2种情况，当∠BCD=90°时， ∵△BPC∽△CQD，∴ 设D(m，-m+2)， 则BP=4，CQ= m-1， CP=2，DQ=-m+3 代入比例式后，解得：m= ，∴D( ， )． 由图形可知， 不存在． 综上所述，点D的坐标为(2，0)或( ， )． 【总结】本题考查了求二次函数的解析式，和直角三角形的存在性问题，要注意分类讨论． 【例2】 （2015学年·虹口区一模·第24题）在平面直角坐标系xOy中，抛物线 与x轴分别交于点A（2，0）、点B（点B在点A的右侧），与y轴交于点C， ． （1）求该抛物线的表达式； （2）设该抛物线的顶点为D，求四边形ACBD的面积； （3）设抛物线上的点E在第一象限， 是以BC为一条直角边的直角三角形，请直接写出点E的坐标． 【难度】★★★ 【答案】（1）；（2）8；（3）点E的坐标是（10，8）或（16，35）． 【解析】解：（1）∵当时，，∴C（0，3） 在Rt△COB中，∵ ∴ ∴ ∴点B（6，0） 把A（2，0）、B(6，0)分别代入， 得 解得： ∴该抛物线表达式为 （2）∵ ∴顶点D（4，-1） ∴