沪教版（上海）九年级秋季班-第19讲：一模复习之相似三角形的存在性-教师版

相似三角形的存在性是上海初中数学中考一模考试中的热点，也是难点，通常会在24题和25题中出现，大部分题型分为以二次函数为背景的相似三角形存在性问题和以几何图形为背景相似三角形问题． 以二次函数为背景的相似三角形问题，即在平面直角坐标系中，通常是用待定系数法求解二次函数的解析式，在求点的坐标过程中需要用到相似三角形的一些性质，如何利用条件找到合适的点使得所求三角形相似是需要重点突破的难点，而且通常不止一种情况，需注意分类讨论． 以几何图形为背景的相似三角形问题，通常是注重考查相关的几何定理和性质，有时也会涉及到图形运动（翻折、旋转和点的运动）的问题．若遇到动点问题，需要弄清“动点有一个还是两个？”、“运动路线是线段、射线，还是直线，或者是折线？”、“点的运动的速度是多少？”这几个问题，然后根据题目给出的条件结合常见的基本图形解题规律是解决此类问题常用的策略． 相似三角形的存在性问题主要考察同学们根据实际情况对题目进行分类讨论的数学思想，分类讨论的基础上，利用几何定理和性质或者代数方法建立方程求解是常用的方法． 【例1】 （2015学年·徐汇区一模·第24题）如图，在 中， ，已知点A（ ， ），点 在第二象限， ，抛物线 经过点 和 ． （1）求点 的坐标；（2）求抛物线 的对称轴； （3）如果该抛物线的对称轴分别和边 的延长线交于点 ，设点 在直线 上，当 和 相似时，直接写出点 的坐标． 【难度】★★★ 【答案】（1）B(-2，2)；（2）对称轴为直线x=1；（3）E点坐标为( )、( )． 【解析】解：（1）由A(-1，-1)，易知∠AOH=45°， ∵∠AOB=90° ∴∠BOG=45°， ∴△BOG是等腰直角三角形． ∵OB= ， ∴BG=OG=2， ∴B(-2，2)； （2）将A(-1，-1)、B(-2，2)代入 ， 得 ，解得： ， ∴ 对称轴为直线x =1； （3）由A(-1，-1)，解得直线AO解析式为y=x，且C(1，1)， 由B(-2，2)，解得直线BO解析式为y= -x，且D(1，-1)， 易证AO=CO． ∵∠AOB=90°，∴AB=BC，∴∠ABO=∠CBO． ∵△BOE和△BCD相似，第1种情况，∠BOE=∠BDC=45°， 此时点E就在x轴上，E( )； 第2种情况，∠BEO=∠BDC=45°，CD:BC=2： ， 则OE:BO=2：