专题02 函数零点问题-2020高考数学尖子生辅导专题

专题二 函数零点问题 专题二 函数零点问题 函数的零点作为函数、方程、图象的交汇点，充分体现了函数与方程的联系，蕴含了丰富的数形结合思想．诸如方程的根的问题、存在性问题、交点问题等最终都可以转化为函数零点问题进行处理，因此函数的零点问题成为了近年来高考新的生长点和热点，且形式逐渐多样化，备受青睐． 模块1 整理方法 提升能力 对于函数零点问题，其解题策略一般是转化为两个函数图象的交点． 对于两个函数的选择，有3种情况：一平一曲，一斜一曲，两曲（凸性一般要相反）．其中以一平一曲的情况最为常见． 分离参数法是处理零点问题的常见方法，其本质是选择一平一曲两个函数；部分题目直接考虑函数 的图象与 轴的交点情况，其本质是选择一平一曲两个函数；部分题目利用零点存在性定理并结合函数的单调性处理零点，其本质是选择一平一曲两个函数． 函数的凸性 1．下凸函数定义 设函数 为定义在区间 上的函数，若对 上任意两点 ， ，总有 ，当且仅当 时取等号，则称 为 上的下凸函数． 2．上凸函数定义 设函数 为定义在区间 上的函数，若对 上任意两点 ， ，总有 ，当且仅当 时取等号，则称 为 上的上凸函数． 3．下凸函数相关定理 定理：设函数 为区间 上的可导函数，则 为 上的下凸函数 EMBED Equation.DSMT4 为 上的递增函数 EMBED Equation.DSMT4 且不在 的任一子区间上恒为零． 4．上凸函数相关定理 定理：设函数 为区间 上的可导函数，则 为 上的上凸函数 EMBED Equation.DSMT4 为 上的递减函数 EMBED Equation.DSMT4 且不在 的任一子区间上恒为零． 例1 已知函数 ． （1）讨论 的单调性； （2）若 有两个零点，求 的取值范围． 【解析】（1） ， ． ①当 时， ，所以 ，所以 在 上递减． ②当 时，由 可得 ，由 可得 ，所以 在 上递减，在 上递增． （2）法1：①当 时，由（1）可知， 在 上递减，不可能有两个零点． ②当 时， ，令 ，则 ，所以 在 上递增，而 ，所以当 时， ，从而 没有两个零点． 当 时， ， ，于是 在 上有 个零点；因为 ，且 ，所以 在 上有 个零点． 综上所述， 的取值范围为 ． 法2： ．令 ，则 ，令 ，则 ，所以 在 上递增， 而 ，所