专题03 含参数函数不等式恒成立问题-2020高考数学尖子生辅导专题

专题三 含参数函数不等式恒成立问题 专题三 含参数函数不等式恒成立问题 不等式问题是数学中的重要内容之一，而含参数函数不等式恒成立问题又是重点中的难点．这类问题既含参数又含变量，与多个知识有效交汇，有利于考查学生的综合解题能力，检验学生思维的灵活性与创造性，这正符合高考强调能力立意，强调数学思想与方法的命题思想，因此恒成立问题成为近年来全国各地高考数学试题的一个热点． 模块1 整理方法 提升能力 处理含参数函数不等式（一个未知数）恒成立问题，从方法上，可考虑分离参数法或猜想 最值法（必要条件法）．如果使用分离参数法，则猜想是没有作用的，对于难一点的分离参数法，可能要使用多次求导或洛必达法则．如果使用猜想法，则后续有3种可能：一是猜想没有任何作用；二是利用猜想减少分类讨论；三是在猜想的基础上强化，从而得到答案．从改造的形式上，解答题优先选择一平一曲，可利用分离参数法转化为一平一曲两个函数，也可以把函数化归为一边，考虑函数的图象与 轴的交点情况（本质上也是一平一曲）． 洛必达法则 如果当 （ 也可以是 ）时，两个函数 和 都趋向于零或都趋向于无穷大，那么极限 可能存在，也可能不存在．如果存在，其极限值也不尽相同．我们称这类极限为 型或 型不定式极限．对于这类极限，一般要用洛必达法则来求． 定理1：若函数 和 满足条件： （1） ． （2） 和 在 的某个去心邻域内可导，且 ． （3） 存在或为无穷大． 则有 ． 定理2：若函数 和 满足条件： （1） ． （2） 和 在 的某个去心邻域内可导，且 ． （3） 存在或为无穷大． 则有 ． 在定理1和定理2中，将分子、分母分别求导再求极限的方法称为洛必达法则． 使用洛必达法则时需要注意： （1） 必须是 型或 型不定式极限． （2）若 还是 型或 型不定式极限，且函数 和 仍满足定理中 和 所满足的条件，则可继续使用洛必达法则，即 ． （3）若无法判定 的极限状态，或能判定它的极限振荡而不存在，则洛必达法则失效，此时，需要用其它方法计算 ． （4）可以把定理中的 换为 ， ， ， ，此时只要把定理中的条件作相应的修改，定理仍然成立． 例1 已知函数 （ ）． （1）求 在 上的最小值； （2）若 对 恒成立，求正数 的最大值． 【解析】（1）定义域为 ， ． ①当 时， ，函数 在 为增函数，所以 ． ②当 时，由