专题04 利用导数证明函数不等式（一）-2020高考数学尖子生辅导专题

专题四 利用导数证明函数不等式（一） 专题四 利用导数证明函数不等式（一） 函数不等式的证明由于其形式多变，方法灵活，成为了近几年高考的一个热点与难点，它一般出现在压轴题的位置，解决起来比较困难．利用导数作为工具进行证明是证明函数不等式的一种常见方法，本专题总结了利用导数证明一个未知数的函数不等式的常见方法，希望同学们看后有所收获，提升利用导数证明函数不等式的能力． 模块1 整理方法 提升能力 对于一个未知数的函数不等式问题，其关键在于将所给的不等式进行“改造”，得到一平一曲、两曲两种模式中的一种． 当出现一平一曲时，只需运用导数求出“曲”的最值，将其与“平”进行比较即可． 当出现两曲时，如果两个函数的凸性相同，则可以考虑通过曲线进行隔离．由于隔离曲线的寻找难度较大，所以我们一般希望两个函数的凸性相反．当两个函数的凸性相反时，则可以寻找直线（常选择公切线或切线）实现隔离放缩，当然最理想的直线状态是该直线与 轴平行或重合． 当改造的过程中出现一斜一曲时，一般要将其继续改造，要么将其化归到一边，转化为一平一曲，要么将其转化为两曲． 常用不等式的生成 在不等式“改造”或证明的过程中，可借助题目的已知结论、均值不等式、函数单调性、与 、 有关的常用不等式等方法进行适当的放缩，再进行证明．下面着重谈谈与 、 有关的常用不等式的生成． 生成一：利用曲线的切线进行放缩 设 上任一点 的横坐标为 ，则过该点的切线方程为 ，即 ，由此可得与 有关的不等式： ，其中 ， ，等号当且仅当 时成立．特别地，当 时，有 ；当 时，有 ． 设 上任一点 的横坐标为 ，则过该点的切线方程为 ，即 ，由此可得与 有关的不等式： ，其中 ， ，等号当且仅当 时成立．特别地，当 时，有 ；当 时，有 ． 利用切线进行放缩，能实现以直代曲，化超越函数为一次函数． 生成二：利用曲线的相切曲线进行放缩 由图 可得 ；由图 可得 ；由图 可得， （ ）， （ ）；由图 可得， （ ）， （ ）． 综合上述两种生成，我们可得到下列与 、 有关的常用不等式： 与 有关的常用不等式： （1） （ ）； （2） （ ）． 与 有关的常用不等式： （1） （ ）； （2） （ ）； （3） （ ）， （ ）； （4） （ ）， （ ）． 用 取代 的位置，相应的可得到与 有关的常用不等式． 例1 设函数 ，曲线